Argument del periàpside

L'argument del periàpside (símbol <math> \omega \,</math>) és un dels elements orbitals utilitzats per a especificar l'òrbita d'un cos celeste. És l'angle que va des del node ascendent fins al periàpside, mesurat en el pla orbital de l'objecte i en el seu sentit de moviment. Per a òrbites equatorials, en les que no hi ha node ascendent, i per a òrbites circulars, que no tenen periastre, està indefinit. Per a objectes que orbiten el Sol, s'anomena argument del periheli i per a objectes que orbiten la Terra, argument del perigeu.

Fitxer:Elements orbitals.png

En aquest diagrama, l'argument del periheli (se suposa que el cos central és el Sol) és l'angle <math> \omega \,</math> (en blau) que va des del node ascendent fins al periheli.

Càlcul

En mecànica celeste i astrodinàmica, l'argument del periàpside <math> \omega\,</math> es pot calcular de la forma següent:

Imaginem un sistema de referència amb origen en el cos central i definit pels eixos <math>x \,</math>, <math>y \,</math> i <math>z \,</math>. L'eix <math>z \,</math> és perpendicular al pla de referència i apunta cap amunt, l'eix <math>x \,</math> apunta en direcció al punt vernal i l'eix <math>y \,</math> és perpendicular als dos anteriors. Prenem ara el vector <math> \mathbf{n} </math> amb origen al cos central i que apunta en direcció al node ascendent. Les components del vector en coordenades cartesianes són <math> \mathbf{n} = (n_x, n_y, n_z) </math>. Com que es troba sobre el pla de referència, la seva component <math>z \,</math> és nul·la (<math>n_z = 0 \,</math>). Prenem també el vector <math> \mathbf{e} </math> amb origen al cos central i que apunta en direcció al periàpside. Les components del vector en cartesianes són <math> \mathbf{e} = (e_x, e_y, e_z) </math>.

Llavors, l'argument del periàpside és:

<math> \omega = \arccos { {\mathbf{n} \cdot \mathbf{e}} \over { \mathbf{\left |n \right |} \mathbf{\left |e \right |} }}</math> (si <math>e_z < 0\,</math>)

o bé,

<math> \omega = 2 \pi - \arccos { {\mathbf{n} \cdot \mathbf{e}} \over { \mathbf{\left |n \right |} \mathbf{\left |e \right |} }}</math> (si <math>e_z > 0\,</math>)

En el cas d'òrbites equatorials (és a dir, òrbites amb inclinació igual a zero), tot i que estrictament <math> \omega\,</math> està indefinit, sovint s'assumeix que:

<math> \omega = \arccos { {e_x} \over { \mathbf{\left |e \right |} }}</math>

En el cas d'òrbites circulars, sovint s'assumeix que el periàpside se situa en el node ascendent i per tant <math>\omega=0\,</math>.