File:Pm1234 Euler.svg és una versió vectorial (SVG) d'aquest fitxer. En cas de ser millor, hauria de ser emprada en lloc d'aquesta imatge tramada. File:Pm1234-Euler.png → File:Pm1234 Euler.svg Per a més informació pel que fa als gràfics vectorials, llegiu la transició a SVG en Commons. També hi ha informació quant a la compatibilitat del MediaWiki amb les imatges SVG. En altres idiomes Alemannisch ∙ العربية ∙ беларуская (тарашкевіца) ∙ български ∙ বাংলা ∙ català ∙ нохчийн ∙ čeština ∙ dansk ∙ Deutsch ∙ Ελληνικά ∙ English ∙ British English ∙ Esperanto ∙ español ∙ eesti ∙ euskara ∙ فارسی ∙ suomi ∙ français ∙ Frysk ∙ galego ∙ Alemannisch ∙ עברית ∙ हिन्दी ∙ hrvatski ∙ magyar ∙ հայերեն ∙ Bahasa Indonesia ∙ Ido ∙ italiano ∙ 日本語 ∙ ქართული ∙ 한국어 ∙ lietuvių ∙ македонски ∙ മലയാളം ∙ Bahasa Melayu ∙ မြန်မာဘာသာ ∙ norsk bokmål ∙ Plattdüütsch ∙ Nederlands ∙ norsk nynorsk ∙ norsk ∙ occitan ∙ polski ∙ prūsiskan ∙ português ∙ português do Brasil ∙ română ∙ русский ∙ sicilianu ∙ Scots ∙ slovenčina ∙ slovenščina ∙ српски / srpski ∙ svenska ∙ தமிழ் ∙ ไทย ∙ Türkçe ∙ татарча / tatarça ∙ українська ∙ vèneto ∙ Tiếng Việt ∙ 中文 ∙ 中文（中国大陆） ∙ 中文（简体） ∙ 中文（繁體） ∙ 中文（马来西亚） ∙ 中文（新加坡） ∙ 中文（臺灣） ∙ +/−

 

Euler summation of 1 − 2 + 3 − 4 + · · · to 1/2-1/4.

The original series 1 − 2 + 3 − 4 + · · · is depicted at the top of the diagram; the Euler transformed series 1/2 − 1/4 + 0 + 0 + · · · is depicted at the bottom of the diagram. The conclusion is that the Euler sum of 1 − 2 + 3 − 4 + · · · is 1/2-1/4 = 1/4.

Only the first four terms of the series are shown. A white disk represents +1; a reddish disk represents −1. The units are grouped on top of each other as they occur within the terms of the series.

Let a = 1 − 2 + 3 − 4 + · · · be the original formal series. Let S be the shift operator on formal series,

${\displaystyle S(a_0+a_1+a_2+\cdots )=a_1+a_2+a_3+\cdots .}$

Let T be the average between S and the identity operator:

${\displaystyle T=\frac{1+S}{2},T(a_0+a_1+a_2+\cdots )=(\frac{a_0+a_1}{2},\frac{a_1+a_2}{2},\frac{a_2+a_3}{2},\cdots ).}$

Then given a series a, if it converges, then its sum is the same as the sum of the series

${\displaystyle \frac{a_0}{2}+Ta.}$

The Euler summation procedure has many descriptions, but for the present purposes it can be described as a repetition of the above "process". To be precise, the nth term of the Euler transformed series is

${\displaystyle \frac{1}{2}(T^{n}a{)}_0.}$

See eq. (20.3) of Korevaar, Jacob (2004) Tauberian Theory: A Century of Developments, Springer, p. 326 ISBN 3-540-21058-X

To compute this transform in place, one pulls half of each term into the next term, then fixes the first term, then repeats.

The part of the diagram with the four green stripes indicates taking half of every term in the original series a and pulling it into the next term. Most of the units cancel, leaving the series

${\displaystyle \frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\cdots .}$

The first term of this series is fixed, leaving

${\displaystyle \frac{a_0}{2}+Ta.}$

The process repeated upon the remaining terms, leaving 1/2 − 1/4 + 0 + 0 + · · ·. Now two terms are fixed, and the remaining terms are all zero, so all further applications of T do not change the series, and they are not depicted. In the visual language, subsequent green stripes pull on nothingness.

The result is the Euler transformed series, 1/2 − 1/4 + 0 + 0 + · · ·. It is convergent, having only two nonzero terms, and its sum is 1/2 − 1/4. The diagram does not distinguish between the finite series and its sum. As a number, 1/2 − 1/4 = 1/4.

The above is done to illustrate how Euler summation works on the series. In practice, one exploits auxiliary quantities, and the computation is much easier; see for example Image:Pm1234-Euler1755.png. An extended description of Euler's procedure on 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·, including reversing its alternation and taking iterated forward differences, is at w:1 − 2 + 3 − 4 + · · ·#Euler and Borel.

Jo, el titular dels drets d'autor d'aquest treball, el public sota les següents llicències:

S'autoritza la còpia, la distribució i la modificació d'aquest document sota els termes de la llicència de documentació lliure GNU versió 1.2 o qualsevol altra versió posterior que publiqui la Free Software Foundation; sense seccions invariants, ni textos de portada, ni textos de contraportada. S'inclou una còpia d'aquesta llicència en la secció titulada GNU Free Documentation License.http://www.gnu.org/copyleft/fdl.htmlGFDLGNU Free Documentation Licensetruetrue

	Aquest fitxer està subjecte a la llicència Creative Commons Reconeixement-CompartirIgual 3.0 No adaptada.
	Sou lliure de: compartir – copiar, distribuir i comunicar públicament l'obra adaptar – fer-ne obres derivades Amb les condicions següents: reconeixement – Heu de donar la informació adequada sobre l'autor, proporcionar un enllaç a la llicència i indicar si s'han realitzat canvis. Podeu fer-ho amb qualsevol mitjà raonable, però de cap manera no suggereixi que l'autor us dóna suport o aprova l'ús que en feu. compartir igual – Si modifiqueu, transformeu, o creeu a partir del material, heu de distribuir les vostres contribucions sota una llicència similar o una de compatible amb l'original.
	Aquest avís de llicència s'ha afegit a aquest fitxer d'acord amb l'actualització de la llicència GFDL.http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/CC BY-SA 3.0Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0truetrue

Aquest fitxer està llicenciat sota les llicències de Creative Commons Reconeixement - CompartirIgual 2.5 Genèrica, 2.0 Genèrica i 1.0 Genèrica.

Sou lliure de:

• compartir – copiar, distribuir i comunicar públicament l'obra
• adaptar – fer-ne obres derivades

Amb les condicions següents:

• reconeixement – Heu de donar la informació adequada sobre l'autor, proporcionar un enllaç a la llicència i indicar si s'han realitzat canvis. Podeu fer-ho amb qualsevol mitjà raonable, però de cap manera no suggereixi que l'autor us dóna suport o aprova l'ús que en feu.
• compartir igual – Si modifiqueu, transformeu, o creeu a partir del material, heu de distribuir les vostres contribucions sota una llicència similar o una de compatible amb l'original.

https://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.5CC BY-SA 2.5 Creative Commons Attribution-Share Alike 2.5 truetrue

Podeu seleccionar la llicència que vulgueu.