Mòdul

Aquest article tracta sobre l'estructura algebraica. Vegeu-ne altres significats a «mòdul d'un vector».

Un A-mòdul és una estructura algebraica que involucra un anell A i un grup abelià. Es tracta d'una generalització de l'estructura d'espai vectorial en la què el cos d'escalars es restringeix a un anell.

A-mòduls per l'esquerra

Sigui <math>A\,</math> un anell i <math>M\,</math> un grup abelià. El grup <math>M\,</math> té estructura de <math>A</math>-mòdul per l'esquerra si l'anell <math>A\,</math> opera linealment per l'esquerra sobre els elements de <math>M\,</math>, és a dir, si hi ha una operació externa de <math>A\,</math> sobre <math>M\,</math>:

<math>\begin{matrix} A \times M \longrightarrow M \\ (\lambda, x) \longmapsto \lambda x \end{matrix}\,</math>

amb les condicions de linealitat

<math>\lambda(x + y) = \lambda x + \lambda y \,</math>

<math>(\lambda + \mu) x = \lambda x + \mu x \,</math>

<math>(\lambda \mu) x = \lambda (\mu x)\,</math>

per a <math>\lambda, \mu \in A</math> i <math>x, y \in M</math>. Si, a més, l'anell té unitat, es demana que

<math>1 x = x\,</math>

A-mòduls per la dreta

Si l'operació externa és per la dreta,

<math>\begin{matrix} M \times A \longrightarrow M \\ (x, \lambda) \longmapsto x \lambda \end{matrix}\,</math>

amb les corresponents condicions de linealitat:

<math>(x + y) \lambda = x \lambda + y \lambda \,</math>

<math>x (\lambda + \mu) = x \lambda + x \mu \,</math>

<math>x (\lambda \mu) = (x \lambda) \mu \,</math>

aleshores es tracta d'un <math>A</math>-mòdul per la dreta.

A-mòduls bilàters

Si l'anell <math>A</math> és commutatiu, aleshores és possible la identificació <math>\lambda x = x \lambda</math>, perquè les condicions <math>(\lambda \mu) x = \lambda (\mu x)\,</math> i <math>x (\lambda \mu) = (x \lambda) \mu \,</math> ja no són contradictòries. Aleshores <math>M</math> té estructura de <math>A</math>-mòdul bilàter o, simplement, d'<math>A</math>-mòdul. El costum, però, és d'escriure'n les propietats i els càlculs com si es tractés d'un <math>A</math>-mòdul per l'esquerra.

Exemples

• Si <math>A</math> és un anell, ell mateix es pot considerar com a <math>A</math>-mòdul de manera natural:

<math>\begin{matrix} A \times A \longrightarrow A \\ (x, y) \longmapsto xy \end{matrix}\,</math>

• Els grups commutatius són <math>\mathbb{Z}</math>-mòduls. En efecte, si <math>G</math> és un grup commutatiu (notació aditiva) i <math>n \in \mathbb{Z}</math>, l'operació externa de <math>\mathbb{Z}</math> sobre <math>G</math> donada per:

<math>\begin{matrix} \mathbb{Z} \times G \longrightarrow G \\ (n, g) \longmapsto \begin{cases} \overbrace{ g + g + \cdots + g }^{n}, \mbox{ si } n > 0 \\ 0, \mbox{ si } n = 0 \\ -(\overbrace{ g + g + \cdots + g }^{-n}), \mbox{ si } n < 0 \end{cases} \end{matrix}\,</math>

dota al grup <math>G</math> d'una estructura de <math>\mathbb{Z}</math>-mòdul.

• Els espais vectorials sobre un cos <math>K</math> són <math>K</math>-mòduls.

• Si <math>\operatorname{Hom}_{A}(E)</math> és l'anell d'endomorfismes d'un <math>A</math>-mòdul <math>M</math>, l'operació externa

<math>\begin{matrix} \operatorname{Hom}_{A}(E) \times M \longrightarrow M \\ (\varphi, x) \longmapsto \varphi(x) \end{matrix}\,</math>

fa que <math>M</math> es pugui considerar un <math>\operatorname{Hom}_{A}(E)</math>-mòdul.

• Si <math>A</math> és un anell i <math>\mathfrak{a}\,</math> n'és un ideal (per l'esquerra), aleshores el propi <math>\mathfrak{a}\,</math>, amb l'operació

<math>\begin{matrix} A \times \mathfrak{a} \longrightarrow \mathfrak{a} \\ (x, a) \longmapsto xa \end{matrix}\,</math>

és un <math>A</math>-mòdul (per l'esquerra), perquè, per a tot <math>a \in \mathfrak{a}</math> i tot <math>x \in A</math>, el producte <math>xa</math> pertany a <math>\mathfrak{a}\,</math>.