Paritat d'una permutació
En matemàtiques, les permutacions (és a dir, les bijeccions en els conjunts finits) es poden descompondre en un producte de transposicions, és a dir en una successió d'intercanvis d'elements dos a dos.
- Una permutació parell és una permutació que es pot expressar com el producte d'un nombre parell de transposicions;
- Una permutació senar és una permutació es pot expressar com el producte d'un nombre senar de transposicions.
El signe d'una permutació val 1 si és parell i -1 si és senar. L'aplicació signe constitueix un morfisme de grups. Intervé en àlgebra multilineal, sobretot per al càlcul de Determinants.
Definició de la paritat
Sigui una permutació <math>\sigma</math>. La definició tradicional de la paritat de <math>\sigma</math> es fa pel recompte de les inversions.
- Definició
Siguin i<j dos elements diferents compresos entre 1 i n. Es diu que la parella {i,j} queda 'invertida per <math>\sigma</math> quan <math>\sigma(i)>\sigma(j)</math>.
Una permutació s'anomena parell quan presenta un nombre parell d'inversions, senar si no.
- Exemple
- Sigui la permutació
- <math>\begin{pmatrix} 1&2&3&4&5\\1&3&5&4&2\end{pmatrix}</math>
- La parella {1,2} no està en inversió ja que les imatges de 1 i 2 estan conserven el mateix ordre. Tampoc ho estan 1 i 3. La llista de les parelles en inversió és {2,5}, {3,4}, {3,5}, {4,5}. N'hi ha quatre, per tant la permutació és parell.
Per definició, el signe d'una permutació parell és 1, la d'una permutació senar és -1.
Una transposició és senar
Tota transposició és una permutació senar. En efecte notant i i j, i<j, els termes intercanviats per la transposició, aquesta s'escriu
- <math>\begin{pmatrix} 1&\dots&i-1&i&i+1&\dots &j-1&j&j+1&\dots\; n\\
1&\dots & i-1&j&i+1&\dots &j-1&i&j+1&\dots\; n\end{pmatrix}</math>
Els parells en inversió són els parells de la forma {i,k} amb k comprès entre i+1 i j i les de la forma {k,j} amb k comprès entre i+1 i j-1. En total, hi ha un nombre senar d'inversions, i d'aquí se'n desprèn que la permutació és senar.
Una fórmula per a calcular el signe
Es nota <math>{\mathcal P}</math> el conjunt dels parells d'elements compresos entre 1 i n (n'hi ha n(n-1)/2). Una permutació σ té per signe
- <math>\varepsilon(\sigma)=\prod\limits_{i<j} \frac{\sigma(i)-\sigma(j)}{i-j}
=\prod\limits_{\{i,j\}\in {\mathcal P}} \frac{\sigma(i)-\sigma(j)}{i-j}</math>
- Demostració
- Dient P aquest producte. Examinar totes les parelles (i,j) amb i<j porta a examinar tots els parells {i,j}. Per a cadascuna d'elles, el terme que es troba al producte té un signe negatiu si el parell és en inversió, positiu si no. Aixó mostra que el signe de P és el de la permutació. Finalment, per bijectivitat de σ, els termes σ(i)-σ(j) del numerador són, tret del signe, els mateixos que els i-j del denominador. Això mostra que el valor absolut de P és 1 i permet concloure.
Aquesta fórmula té un cert interès algebraic però no permet un càlcul eficaç del signe a la pràctica. En efecte, respecte al senzill recompte de les inversions s'afegeix la multiplicació i la divisió per un cert nombre d'enters.
Signe d'un producte
Les permutacions verifiquen una regla dels signes per al producte: el producte de dues permutacions parells és parell, de dues permutacions senars és parell, el producte d'una permutació parell i d'una senar és senar. Utilitzant el signe, això es resumeix per la fórmula
- <math>\varepsilon(\sigma\circ\tau)=\varepsilon(\sigma).\varepsilon(\tau)</math>
- Demostració
- <math>\varepsilon(\sigma\circ \tau )=\prod\limits_{\{i,j\}\in {\mathcal P}} \frac{\sigma(\tau(i))-\sigma(\tau(j))}{\tau(i)-\tau(j)}
\prod\limits_{\{i,j\}\in {\mathcal P}} \frac{\tau(i)-\tau(j)}{i-j}</math>
- En el segon factor del segon membre, es reconeix directament un signe. Per al primer, cal prèviament reindexar posant {i',j'}={τ(i),τ(j)}, on s'hi reconeix llavors igualment un signe.
En termes algebraics: el signe és un morfisme de grups del grup simètric <math>(\mathfrak S_n,\circ)</math> en <math>\left(\{-1,1\},\times\right)</math>. El conjunt de les permutacions parells forma el grup alternat, nucli d'aquest morfisme. Finalment la permutació inversa de σ té el mateix signe que σ.
Càlcul del signe
Com a corol·lari dels resultats precedents,
- una permutació és parell si i només si es pot expressar com el producte d'un nombre parell de transposicions;
- una permutació és senar si i només si es pot expressar com el producte d'un nombre senar de transposicions
i aquests dos casos s'exclouen mútuament.
El càlcul del signe per la descomposició en producte de transposicions és molt més eficaç que l'aplicació de la definició inicial; en efecte per a una permutació de <math>{\mathfrak S}_n</math> aquesta descomposició demanda com a màxim n-1 operacions, contra n(n-1)/2 per a la definició.
- Exemples
- la identitat és una permutació parell;
- una transposició és una permutació senar;
- una permutació circular és parell si el nombre d'elements és senar; és senar si el nombre d'elements és parell.