Teorema de Rouché-Frobenius
Definició
Sigui el sistema lineal d'equacions
|
<math> \begin{cases} \begin{align} \alpha_{1}^{1} x^{1} + \alpha_{2}^{1} x^{2} + \cdots + \alpha_{m}^{1} x^{m} & = \beta^{1} \\ \alpha_{1}^{2} x^{1} + \alpha_{2}^{2} x^{2} + \cdots + \alpha_{m}^{2} x^{m} & = \beta^{2} \\ \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots & \ldots \\ \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots & \ldots \\ \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots & \ldots \\ \alpha_{1}^{n} x^{1} + \alpha_{2}^{n} x^{2} + \cdots + \alpha_{m}^{n} x^{m} & = \beta^{n} \\ \end{align} \end{cases} \qquad\qquad\qquad (1) </math> |
amb, respectivament, matriu del sistema i matriu ampliada
|
<math> A = \begin{pmatrix} \alpha_{1}^{1} & \alpha_{2}^{1} & \ldots & \alpha_{m}^{1} \\ \alpha_{1}^{2} & \alpha_{2}^{2} & \ldots & \alpha_{m}^{2} \\ \vdots & \vdots & \vdots\,\vdots\,\vdots & \vdots \\ \alpha_{1}^{n} & \alpha_{2}^{n} & \ldots & \alpha_{m}^{n} \\ \end{pmatrix} \,,\qquad (A|b) = \begin{pmatrix} \alpha_{1}^{1} & \alpha_{2}^{1} & \ldots & \alpha_{m}^{1} & \beta^{1} \\ \alpha_{1}^{2} & \alpha_{2}^{2} & \ldots & \alpha_{m}^{2} & \beta^{2} \\ \vdots & \vdots & \vdots\,\vdots\,\vdots & \vdots & \vdots \\ \alpha_{1}^{n} & \alpha_{2}^{n} & \ldots & \alpha_{m}^{n} & \beta^{n} \\ \end{pmatrix} </math> |
|
<math> \begin{cases} \begin{align} \alpha_{1}^{1} x^{1} + \alpha_{2}^{1} x^{2} + \cdots + \alpha_{m}^{1} x^{m} &= 0 \\ \alpha_{1}^{2} x^{1} + \alpha_{2}^{2} x^{2} + \cdots + \alpha_{m}^{2} x^{m} &= 0 \\ \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots & \ldots \\ \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots & \ldots \\ \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots & \ldots \\ \alpha_{1}^{n} x^{1} + \alpha_{2}^{n} x^{2} + \cdots + \alpha_{m}^{n} x^{m} &= 0 \\ \end{align} \end{cases} \qquad\qquad\qquad (2) </math> |
Es coneix com a teorema de Rouché-Frobenius el conjunt de les següents proposicions sobre sistemes d'equacions lineals:
- El sistema <math>(1)</math> és compatible, és a dir, té solució, si, i només si, la matriu del sistema i la matriu ampliada tenen el mateix rang, això és,
|
<math> \mbox{rang} \, A = \mbox{rang} \, (A|b) </math> |
- Si el sistema <math>(1)</math> és compatible, aleshores la solució general del sistema s'obté tot sumant a una solució particular la solució general del sistema homogeni associat <math>(2)</math>.
Precisions complementàries
Com que, si <math>\mbox{rang} \, A = m</math> (el nombre d'incògnites), el sistema homogeni associat només té la solució trivial
|
<math> x^{1} = x^{2} = \cdots = x^{m} = 0 </math> |
resulta que el sistema <math>(1)</math>, en cas de ser compatible, és determinat, és a dir, amb solució única, si, i només si, <math>\mbox{rang} \, A = m</math>. Si <math>\mbox{rang} \, A < m</math>, aleshores la solució de <math>(1)</math> no és única i el sistema es diu indeterminat.
Si el cos al qual pertanyen tant coeficients com incògnites és infinit, el cas dels nombres racionals, <math>\mathbb{Q}</math>, i les seves extensions algebraiques, dels nombres reals, <math>\mathbb{R}</math>, o dels nombres complexos, <math>\mathbb{C}</math>, aleshores els nombre de solucions d'un sistema lineal indeterminat és infinit.
Justificació
Quant a la primera afirmació
La primera de les afirmacions del teorema resulta òbvia si tenim en compte que, si en afegir la columna
|
<math> b = \begin{pmatrix} \beta^{1} \\ \beta^{2} \\ \vdots \\ \beta^{n} \\ \end{pmatrix} </math> |
dels termes independents a la matriu <math>A</math> del sistema, el rang no varia, això és perquè el vector columna de termes independents, <math>b</math>, no és linealment independent dels vectors columna de coeficients,
|
<math> a_{1} = \begin{pmatrix} \alpha_{1}^{1} \\ \alpha_{1}^{2} \\ \vdots \\ \alpha_{1}^{n} \\ \end{pmatrix} \,,\quad a_{2} = \begin{pmatrix} \alpha_{2}^{1} \\ \alpha_{2}^{2} \\ \vdots \\ \alpha_{2}^{n} \\ \end{pmatrix} \,,\quad\ldots\,, a_{m} = \begin{pmatrix} \alpha_{m}^{1} \\ \alpha_{m}^{2} \\ \vdots \\ \alpha_{m}^{n} \\ \end{pmatrix} </math> |
i , per tant, hi ha <math>x^{1}, x^{2}, \ldots, x^{m}</math> que fan
|
<math> x^{1} a_{1} + x^{2} a_{2} + \cdots + x^{m} a_{m} = b </math> |
i el sistema <math>(1)</math> té solució. En canvi <math>\mbox{rang} \, A < \mbox{rang} \, (A|b)</math> implica la independència lineal del vector <math>b</math> i, per tant, la no existència dels escalars <math>x^{1}, x^{2}, \ldots, x^{m}</math>, és a dir, la no existència de solucions.
Quant a la segona afirmació
La segona de les afirmacions del teorema també resulta immediata després de considerar que, si
|
<math> x_{1}^{1}, x_{1}^{2}, \ldots, x_{1}^{m} </math> |
és una solució del sistema <math>(1)</math> i
|
<math> x_{2}^{1}, x_{2}^{2}, \ldots, x_{2}^{m} </math> |
també ho és, aleshores
|
<math> x_{1}^{1} - x_{2}^{1}, x_{1}^{2} - x_{2}^{2}, \ldots, x_{1}^{m} - x_{2}^{m} </math> |
és una solució del sistema homogeni <math>(2)</math>.