Binomi de Newton
El Binomi de Newton o teorema del binomi serveix per a calcular les potències d'un binomi mitjançant nombres combinatoris i ens indica que:
<math>{(a+b)}^{n}=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k}a^{n-k}\,b^{k}</math>,
on el coeficient binomial <math> {n \choose k}</math> és definit així : <math> {n \choose k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}</math>.
Exemples:
- per <math>n=2</math> : <math>(a+b)^2= {2 \choose 0}a^2 + {2 \choose 1}ab + {2 \choose 2}b^2 = a^2 + 2ab + b^2 </math>
- per <math>n=3</math> : <math>(a+b)^3= {3 \choose 0}a^3 + {3 \choose 1}a^2 b + {3 \choose 2}a b^2 + {3 \choose 3} b^3 = a^3 + 3a^2 b + 3 a b^2 + b^3 </math>
Demostració
Raonament combinatori
Tenint en compte que en l'expressió <math>a=(x+y)^n</math>. a es pot escriure com el producte de n binomis, <math>a=s_1s_2 \cdots s_n</math> , on cada <math>s_i=x+y</math>. El desenvolupament de a és la suma de tots els productes formats agafant un terme – ja sigui x o y – de cada <math>s_i</math>. Per exemple, el terme <math>x^n</math> en el desenvolupament de a s'obté seleccionant x en cada <math>s_i</math>.
El coeficient que multiplica cada terme del desenvolupament de a queda determinat per la quantitat de formes diferents que hi ha per triar termes <math>s_i</math> tals que el seu producte és de la mateixa forma que el terme (excloent el coeficient). En el cas de <math>t=x^{n-1}y</math>. t es pot formar a a a base d'agafar y d'un dels <math>s_i</math> i x de tota la resta. Hi ha n formes de seleccionar un <math>s_i</math> per obtenir la y; per tant t s'obté de n formes diferents en el desenvolupament de a, per tant el seu coeficient és n. En general, per <math>t=x^{n-k}y^k</math>, hi ha
- <math>{n \choose k}</math>
Formes diferents de seleccionar els <math>s_i</math> per obtenir els ys (doncs k ys se seleccionen a partir de n <math>s_i</math>), i per tant aquest ha de ser el coeficient per t.
Demostració algebraica
Una altra forma de demostrar el teorema binomial és per inducció. Quant n = 0, es té
- <math> (a+b)^0 = 1 = \sum_{k=0}^0 { 0 \choose k } a^{0-k}b^k.</math>
Per hipòtesi d'inducció se suposa que el teorema és veritat quant l'exponent val m. Llavors per n = m + 1
- <math> (a+b)^{m+1} = a(a+b)^m + b(a+b)^m \,</math>
- <math> = a \sum_{k=0}^m { m \choose k } a^{m-k} b^k + b \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^j</math>
Aplicant la propietat distributiva
- <math> = \sum_{k=0}^m { m \choose k } a^{m-k+1} b^k + \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^{j+1}</math>
Traient fora del sumatori el terme k = 0
- <math> = a^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m \choose k } a^{m-k+1} b^k + \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^{j+1}</math>
fent j = k − 1
- <math> = a^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m \choose k } a^{m-k+1} b^k + \sum_{k=1}^{m+1} { m \choose k-1 }a^{m-k+1}b^{k}</math>
Traient fora del sumatori de la dreta el terme k = m + 1
- <math> = a^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m \choose k } a^{m-k+1}b^k + \sum_{k=1}^{m} { m \choose k-1 }a^{m+1-k}b^{k} + b^{m+1}</math>
Combinant els sumatoris
- <math> = a^{m+1} + b^{m+1} + \sum_{k=1}^m \left[ { m \choose k } + { m \choose k-1 } \right] a^{m+1-k}b^k</math>
Aplicant la regla de Pascal
- <math> = a^{m+1} + b^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m+1 \choose k } a^{m+1-k}b^k</math>
Afegint dins dels sumatori els termes m + 1.
- <math> = \sum_{k=0}^{m+1} { m+1 \choose k } a^{m+1-k}b^k</math>