Matriu transposada

Exemple de transposició d'una matriu 3×2

Si A denota una matriu de n × m elements:

<math>

A = (a_{i,j}) = \begin{pmatrix}

a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & \cdots & a_{1,m}\\
a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & \cdots & a_{2,m}\\
a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & \cdots & a_{3,m}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\

a_{n,1} & a_{n,2} & a_{n,3} & \cdots & a_{n,m}\\ \end{pmatrix} \in \mathcal M_{n\times m} </math>

aleshores la permutació de files per columnes o viceversa, en la matriu A, produeix la seva matriu transposada A^⊤:

<math>

A^\top = \begin{pmatrix}

a_{1,1} & a_{2,1} & a_{3,1} & \cdots & a_{n,1}\\
a_{1,2} & a_{2,2} & a_{3,2} & \cdots & a_{n,2}\\
a_{1,3} & a_{2,3} & a_{3,3} & \cdots & a_{n,3}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\

a_{1,m} & a_{2,m} & a_{3,m} & \cdots & a_{n,m}\\ \end{pmatrix} \in \mathcal M_{m,n} </math>

A serà una matriu simètrica, si i només si, n = m i A^⊤ = A.

Propietats

Siguin A i B matrius adequades per a les següents operacions, sabem que:

• (A^⊤)^⊤ = A
• (A + B)^⊤ = A^⊤ + B^⊤
• Per a qualsevol escalar r, (r⋅A)^⊤ = r⋅A^⊤
• (A⋅B)^⊤ = B^⊤⋅A^⊤

Algorisme

En C++

typedef vector< vector<int> > Matriu;

void intercanvia(int& x, int& y){
x ^= y;
y ^= x; 
x ^= y;
}

void transposar (Matriu& m){
int s = m.size(); 
for(int i = 0;i < s; ++i){
for(int j = 0; j < i; ++j){
intercanvia(m[i][j],m[j][i]); 
}
}
}