Anàlisi dimensional

L'anàlisi dimensional és una eina matemàtica, utilitzada sovint en física, química i enginyeria, per simplificar un problema, tot reduint el nombre de variables al nombre mínim de paràmetres essencials. Dos sistemes que tinguin els mateixos paràmetres essencials es poden considerar similars, i es poden estudiar conjuntament.

La dimensió o magnitud d'una quantitat física és el tipus d'unitat necessària per expressar aquesta quantitat. Per exemple, la dimensió de la velocitat lineal és distancia/temps, i la dimensió de la força és massa×distancia/temps². En mecànica, qualsevol dimensió es pot expressar en termes de longitud (o distància), temps i massa, o bé en termes de força, longitud i massa. La tria d'un o altre conjunt d'unitats fonamentals dependrà del sistema que s'estudiï. En ambdós casos, qualsevol unitat és expressable en funció d'un producte de potències (que poden ser fraccionals) de les unitats fonamentals, i el conjunt d'unitats forma un grup multiplicatiu.

Exemples

Fent que una equació sigui dimensionalment homogènia, és a dir, igualant l'equació de dimensions dels dos membres, és possible determinar la llei matemàtica d'un fenomen.
A continuació es mostren uns quants exemples.

1. L'acceleració centrífuga d'un vehicle que descriu un moviment circular depèn de la velocitat v i del radi R. Per anàlisis dimensional, troba la forma d'aquesta dependència.
Podem suposar que <math>a_c=f(v,R)=v^aR ^b</math>. Aquesta fórmula ha de ser dimensionalment homogènia:
<math>[a_c]=LT^{-2}</math> ; <math>[v^aR ^b]=(LT^{-1})^aL^b=L^aT^{-a}L^b=L^{a+b}T^{-a}</math>
Igualant els exponents tenim <math>a+b=1</math> i <math>-a=-2</math>, que porta a <math>a=2</math> i <math>b=-1</math>
L'equació és, finalment:
<math>a_c=v^2R^{-1}=\frac{v^2}{R}</math>

2. La força de sustentació de l'ala d'un avió depèn de la seva superfície S, de la densitat de l'aire d i de la velocitat de l'objecte v. Troba la forma d'aquesta dependència.
Podem suposar que <math>F=f(S,d,v)=s^ad^bv^c</math>. Aquesta fórmula ha de ser dimensionalment homogènia:
<math>[F]=MLT^{-2}</math> ; <math>[S^ad^bv^c]=(L^2)^a(ML^{-3})^b(LT^{-1})^c=M^bL^{2a-3b+c}T^{-c}</math>
Igualant els exponents tenim <math>b=1</math>,<math>2a-3b+c=1</math> i <math>-c=-2</math>, que porta a <math>a=1</math>, <math>b=1</math> i <math>c=2</math>
L'equació és, finalment:
<math>F=Sdv^2</math>

3. En una explosió atòmica, el radi R del fong en expansió, depèn només de la densitat del medi on es produeix l'explosió (d), del temps transcorregut des de l'inici de la
detonació (t) i de l'energia alliberada a l'instant inicial (E). Troba la forma matemàtica d'aquesta dependència.
Podem suposar que <math>R=f(d,t,E)=d^at ^bE^c</math>. Aquesta fórmula ha de ser dimensionalment homogènia:
<math>[R]=L</math> ; <math>[d^at ^bE^c]=(ML^{-3})^aT^b(ML^2T^{-2}=M^{a+c}L^{-3a+2c}T^{b-2c}</math>
Igualant els exponents tenim <math>a+c=0</math>,<math>-3a+2c=1</math> i <math>b-2c=0</math>, que porta a <math>a=-1/5</math>, <math>b=2/5</math> i <math>c=1/5</math>
L'equació és, finalment:
<math>R=d^{\frac{-1}{5}}t^{\frac{2}{5}}E^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{\frac{t^2E}{d}}</math>