Asímptota

Representació gràfica de l'equació <math>f(x)=\tfrac{1}{x}</math> amb asímptotes als eixos x i y

Una asímptota és una recta a la qual s'aproxima un punt sobre una corba quan el punt s'allunya cap a l'infinit.

N'hi ha de tres tipus:

Asímptota vertical

Donada una funció <math>f(x)</math> existeix una asímptota vertical d'equació <math>x = a</math> si, i només si el límit de la funció quan <math>x</math> tendeix a <math>a</math> és infinit (positiu o negatiu):

<math>\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty</math>

<math>\lim_{x \to a^-} f(x) = \pm\infty</math>

Asímptota horitzontal

Si prenem la mateixa funció, existeix una asímptota horitzontal d'equació <math>y = b</math> si, i només si el límit de la funció quan <math>x</math> tendeix a l'infinit és un nombre finit <math>b</math>:

<math> \lim_{x \to \pm\infty} f(x)= b</math>, essent <math>b</math> un valor finit.

Asímptota obliqua

Les asímptotes obliqües són rectes d'equació <math>y = mx + b</math> on:

<math>\lim_{x \to \infty} \frac {f(x)} {x} = m</math>

i

<math>\lim_{x \to \infty} (f(x) - mx) = b</math>

Cal tenir en compte que no poden coexistir asímptotes obliqües amb horitzontals en el mateix sentit d'infinitud. És a dir, si existeix una asímptota horitzontal per a l'infinit positiu, aleshores no n'existirà cap d'obliqua en aquell sentit, però sí que pot existir-ne per a l'infinit negatiu.