Connectiva lògica

En lògica, les connectives lògiques són les eines que permeten construir enunciats o fórmules a partir dels àtoms. Les més conegudes són no, i, o i la construcció condicional si ...llavors.

Aquestes connectives es representen:

<math> \lnot </math> , no

<math> \land </math> , i

<math> \lor </math> , o (inclusiva)

<math> \rightarrow </math> , si...llavors

(fitxer)		(fitxer) (ampliat)

Connectives

Les connectives són funcions de veritat. Vol dir que són funcions que prenen un o dos valors de veritat, i tornen un únic valor de veritat. En conseqüència, cada connectiva lògica pot ser definida mitjançant una taula de valors de veritat. A continuació hi ha una taula amb les connectives més usuals i la seva definició mitjançant taules de veritat:

Conectiva	Notació	Exemple d'ús	Anàleg natural	Exemple d'ús en el llenguatge natural	Taula de veritat
Negació	<math> \neg, \sim \, </math>	<math> \neg p \, </math>	No	No està plovent.	c	} \phi & \neg \phi \\ \hline 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \hline \end{array}</math>
Conjunció	<math> \And, \And \, </math>	<math> P \and q \, </math>	I	Està plovent i és de nit.	c|c	} \phi & \psi & \phi \and \psi \\ \hline 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \hline \end{array}</math>
Disjunció	<math> \or \, </math>	<math> P \or q \, </math>	O	Està plovent o és de nit.	c|c	} \phi & \psi & \phi \or \psi \\ \hline 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \hline \end{array}</math>
Condicional material	<math> \to, \supset </math>	<math> P \to q \, </math>	Si ... llavors	Si està plovent, llavors és de nit.	c|c	} \phi & \psi & \phi \to \psi \\ \hline 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \hline \end{array}</math>
Si i només si	<math> \leftrightarrow, \equiv \, </math>	<math> P \leftrightarrow q \, </math>	Si i només si	Està plovent si i només si és de nit.	c|c	} \phi & \psi & \phi \leftrightarrow \psi \\ \hline 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \hline \end{array}</math>
Negació conjunta	<math> \Downarrow \, </math>	<math> P \downarrow q \, </math>	Ni ... ni	Ni està plovent ni és de nit.	c|c	} \phi & \psi & \phi \downarrow \psi \\ \hline 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \hline \end{array}</math>
Disjunció excloent	<math> \nleftrightarrow, \oplus, \not \equiv </math>	<math> P \nleftrightarrow q \, </math>	O bé ... o bé	O bé està plovent, o bé és de nit.	c|c	} \phi & \psi & \phi \nleftrightarrow \psi \\ \hline 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \hline \end{array}</math>

Altres connectives

Atès que les connectives són funcions de veritat, hi haurà tantes connectives com a funcions de veritat. No obstant això, no totes les funcions de veritat tenen anàlegs en el llenguatge natural, i en conseqüència, no totes són estudiades amb el mateix interès. A continuació s'inclou una taula que llista totes les connectives binàries possibles.

<math>\begin{array}{|c|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}

\phi & \psi & \top & \or & \leftarrow & \phi & \to & \psi & \leftrightarrow & \and & \uparrow & \nleftrightarrow & \neg \psi & \nrightarrow & \neg \phi & \nleftarrow & \downarrow & \bot \\
\hline
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
\hline
\end{array}</math>

On:

• <math> \top \, </math> és una tautologia.
• <math> \or \, </math> és la disjunció.
• <math> \leftarrow \, </math> és el condicional material invers.
• <math> \to \, </math> és el condicional material.
• <math> \leftrightarrow \, </math> és el Si i només si.
• <math> \And \, </math> és la conjunció.
• <math> \Uparrow \, </math> és la negació alternativa, incompatibilitat, o "NAND".
• <math> \nleftrightarrow \, </math> és la disjunció exclusiva, contravalència o "XOR".
• <math> \nrightarrow \, </math> és la negació del condicional material.
• <math> \nleftarrow \, </math> és la negació del condicional invers.
• <math> \Downarrow \, </math> és la negació conjunta, o "NOR".
• <math> \bot \, </math> és una contradicció.

Vegeu també

• Lògica proposicional
• Porta lògica