Continuació analítica maximal
La continuació analítica maximal és una formalització més abstracta de la noció de continuació analítica.
Sigui <math>\mathbb S</math> l'esfera de Riemann; una superfície de Riemann regular sobre un conjunt obert <math>\ \Omega\subset\mathbb S</math> és un parell <math>\ \left(R,p\right)</math> on <math>R</math> és una superfície de Riemann (és a dir, una varietat complexa de dimensió 1) i <math>p:R\rightarrow\Omega</math> és un biholomorfisme local exhaustiu. Una continuació analítica regular d'un element de funció holomorfa consisteix en una superfície de Riemann regular sobre un conjunt obert <math>\Omega\subset\mathbb S</math> tal que <math>U\subset \pi(S)</math>, en una immersió holomorfa <math>j\,\colon\, U\rightarrow S</math> tal que <math>\pi\circ j=id\vert_{U}</math> i en una funció holomorfa <math>F\,\colon\, S\rightarrow \mathbb S</math> tal que <math>F\circ j=f</math>.
Un morfisme entre dues continuacions analítiques <math>\left(S,\pi,j,F\right)</math> i <math>\left(T,\varrho,\ell,G\right)</math> del mateix element <math>\left(U,f \right)</math> és una funció holomorfa <math>h\,\colon\, T\rightarrow S</math> tal que <math>h\circ\ell=j</math>.
Un tal morfisme és una funció no constant, unívocament determinada en <math>j(U)</math>, (i per tant en tot <math>S</math>) mitjançant <math>\ell\circ j^{-1}</math>. A més, <math>\varrho\circ h=\pi</math> i <math>G\circ h=F</math> en <math>j(U)</math> i per tant en tot <math>S</math>.
L'únic morfisme entre una continuació analítica i ella mateixa és la identitat, la composició de dos morfismes també és un morfisme; si un morfisme admet una funció holomorfa com a inversa, ella és també un morfisme: en tal cas, parlem d'un isomorfisme de continuacions analítiques.
Definició: una continuació analítica <math>S</math> de l'element <math>\left(U,f \right)</math> és maximal si, per a cada continuació <math>\widehat S</math> de <math>\left(U,f \right)</math> existeix un morfisme <math>h\,\colon\, S\rightarrow \widehat S</math>.
És de remarcar que dues continuacions maximals del mateix element són necessàriament isomorfes, ja que la continuació analítica maximal és única llevat d'isomorfismes.
Teorema: cada element <math>\left(U,f \right)</math> de funció holomorfa té una continuació analítica maximal <math>Q:= \left(S,\pi ,j,F \right)</math>.
Demostració: siguin #<math>{\mathcal U}=\{\left(U_i,f_i \right)\}_{i\in I}</math> el conjunt format mitjançant els elements connectables amb <math>\left(U,f \right)</math>; #<math>S_0=\coprod_{i\in I}U_i</math>, <math>\pi_0=\coprod_{i\in I}id\vert_{U_i}</math> i <math>F_0=\coprod_{i\in I}f_i</math>; #<math>j_0\,\colon\, U\longrightarrow S_0</math> la immersió natural.
Introduïm una relació d'equivalència en <math>S_0</math>: <math>z_1\in U_{i_1}</math> i <math>z_2\in U_{i_2}</math> es diran equivalents si <math>\pi_0(z_1)=\pi_0(z_2)</math> i <math>f_{i_1}=f_{i_2}</math> en un entorn de <math>\pi_0(z_1)= \pi_0(z_2)</math> en <math>U_{i_1} \cap U_{i_2}</math>.
Sigui <math>S</math> el conjunt quocient i <math>q\,\colon\,S_0 \longrightarrow S</math> la projecció canònica: una base per a la topologia d'<math>S</math> està formada pels <math>[U_i]:=\{q\left(U_i \right)\}</math>. Definim <math>j\,\colon\,U\longrightarrow S</math>, <math>\pi\,\colon\, S\longrightarrow \mathbb C^N</math>, <math>F\,\colon\, S\longrightarrow \mathbb C^N</math> mitjançant <math>j=q\circ j_0</math>, <math>\pi \left(q(z) \right)=\pi_0(z)</math> i <math>F\left(z_i \right)=f_i\left(z_i \right)</math>.
Aquestes aplicacions estan ben definides i són contínues; a més, <math>\pi</math> és un homeomorfisme local.
L'espai topològic <math>S</math> és Hausdorff: de fet, si <math>q\left(z_i \right)\not=q\left(z_j \right)</math> i <math>\pi_0\left(z_i \right)=\pi_0\left(z_j \right)</math>, considerem un entorn connex <math>V</math> de <math>\pi_0\left(z_i \right)=\pi_0\left(z_j \right)</math>, tal que <math>f_i</math> i <math>f_j</math> estiguin definits i siguin diferents en <math>V</math>. Siguin <math>V_i</math> i <math>V_j</math> les còpies disjuntes de <math>V</math> en <math>U_i</math> i de <math>U_j</math> en <math>S_0</math>: es veu que <math>{q\left(V_i \right) \cap q\left(V_j \right)=\emptyset}</math>. De fet, si hi hagués dos punts <math>w_i\in V_i</math> i <math>w_j\in V_j</math> tals que <math>{q\left(w_i \right)=q\left(w_j \right)}</math>, hi hauria també <math>{f_i=f_j}</math> en un entorn de <math>{\pi_0\left(w_i \right)=\pi_0\left(w_j \right)}</math>, ja que en <math>V</math>, això és una contradicció.
L'espai <math>S</math> és connex, perquè per a tot parell de punts <math>p_1,p_2</math> amb <math>p_1\in [U^{\prime}]</math> i <math>p_2\in [U^{\prime\prime}]</math>, existeix una cadena <math>{{\mathcal K}=\{U_{i_0},U_{i_1},\dots, U_{i_n}\}}</math> de conjunts oberts connexos no buits, tals que, per a tot <math>k=0,....,n-1</math>, <math>U_{i_k}\cap U_{i_{k+1}}\not=\emptyset</math>, i tals que <math>U_{i_0}=U^{\prime}</math> i <math>U_{i_n}=U^{\prime\prime}</math>. Per tant el conjunt obert <math>{[U_{i_0}]\cup\cdots \cup [U_{i_n}]}</math> és connex i conté <math>p_1</math> i <math>p_2</math>.
Puix que <math>q</math> és un homeomorfisme local entre <math>U_i</math> i <math>q\left(U_i \right)</math>, l'espai <math>S</math> és connex; però també <math>\pi\,\colon\, S\longrightarrow \mathbb C</math> és un homeomorfisme local, ja que pel teorema de Poincaré-Volterra (Narasimhan pag.25), també <math> S</math> és de base numerable.
L'atles <math>{\left\{\left([U_i],\pi\vert_{[U_i]} \right) \right\}_{i\in I}}</math> defineix una estructura complexa en <math> S</math>, perquè per a tot parell <math>[U_i],[U_j]</math> de mapes locals que se superposen, l'aplicació de transició <math>{\pi\vert_j\circ\pi\vert_i^{-1}}</math> és la identitat d'un conjunt obert de <math>{U_i\cap U_j}</math>.
Per a aquesta estructura, les aplicacions <math>\pi,\ j,\ F</math> són holomorfes per construcció, ja que <math>{ \left( S, \pi,\ j,\ F\right)}</math> és una continuació analítica de <math>\left(U,f \right)</math>.
Es pot demostrar que aquesta continuació és maximal: sigui <math>{\left(T, \varrho, \ell, G\right)}</math> una continuació analítica de <math>\left(U,f \right)</math>: podem construir un recobriment obert de <math>R</math> mitjançant uns <math>\{V_i\}</math> tals que, per a tot <math>i</math>, <math>\varrho \vert_{\{V_i\}}</math> és biholomorfa; llavors el parell <math>{\left(\varrho(V_i), G\circ\varrho\vert_{V_i}^{-1} \right)}</math> és un element de funció holomorfa connectable amb <math>\left(U,f \right)</math>.
Definim <math>{h_i: V_i\longrightarrow S}</math> mitjançant <math>{h_i=q\circ \varrho\vert_{V_i}}</math>: si <math>V_i\cup V_j \not=\emptyset</math>, <math>h_i=h_j</math> en <math>V_i\cup V_j</math>, per tant les definicions locals s'enllacen per definir una aplicació holomorfa <math>h: T\rightarrow S</math> tal que <math>h\circ\ell=j</math>.
Vegeu també
Referències
Narasimhan: Raghavan Narasimhan, 'Several complex variables' The university of Chicago Press, Chigago