Diferència

Fitxer:Disambig grey.svg

Aquest article tracta sobre l'operació entre conjunts. Vegeu-ne altres significats a «resta».

Fitxer:Venn0100.svg

Exemple gràfic, l'àrea vermella és el conjunt diferència de A menys B.

La diferència és una operació entre dos conjunts. Aquesta operació crea un conjunt, anomenat conjunt diferència, al qual pertanyen tots els elements que pertanyen al primer conjunt i no pertanyen al segon conjunt. S'expressa amb el símbol ∖ o \ (<math>\setminus</math> o <math>\smallsetminus</math>) o amb el símbol de resta (−).

Per exemple:

Donat A={polítics} i B={europeus}, si definim <math>C= A \setminus B</math>, llavors C={polítics no europeus}. <math>C=A \setminus B</math> es llegeix: el conjunt C és igual a la diferència dels conjunts A i B. També es pot llegir: C és el conjunt diferència dels conjunts A i B.

Propietats de la diferència

Diferència d'un conjunt amb si mateix

Quan fem la diferència d'un conjunt amb si mateix, el conjunt diferència és el conjunt buit.

<math>A \setminus A = \emptyset \ </math>

Element neutre

El conjunt buit ∅ és l'element neutre de la diferència.

<math>A \setminus \emptyset =A \ </math>

Propietats no aplicables

• La propietat commutativa no és aplicable a la diferència de conjunts.

<math>A \setminus B \ne B \setminus A</math>

• La propietat associativa tampoc és aplicable a la diferència de conjunts.

<math>A \setminus B \setminus C \ne (A \setminus B) \setminus C \ne A \setminus (B \setminus C)</math>

Per exemple:

Donat A={1,2,3,4,6}, B={2,4,6} i c={3,6,9}, llavors:

(A ∖ B) ∖ C = ({1,2,3,4,6} ∖ {2,4,6}) ∖ {3,6,9} = {1,3} ∖ {3,6,9} = {1}

A ∖ (B ∖ C) = {1,2,3,4,6} ∖ ({2,4,6} ∖ {3,6,9}) = {1,2,3,4,6} ∖ {2,4} = {1,3,6}

{1} ≠ {1,3,6}