Difusió
La difusió és un dels diversos fenòmens de transport que es troben a la natural. Una de les característiques distintives és que és el resultat de barrejar o transportar massa sense la necessitat d’un moviment a l’engròs. Per tant, la difusió no s’ha de confondre amb la convecció o advecció, que són altres mecanismes de transport que utilitzen el moviment per moure les partícules d’un lloc a un altre. En llatí “diffundere” significa cap a fora.
Hi ha dues maneres d’introduir el concepte de difusió: Una aproximació a partir de les lleis de Fick i la seva conseqüència matemàtica o des del punt de vista Físic, considerant un camí a l’atzar de les partícules que es mouen.[1]
D’acord amb la llei de Fick el flux de difusió és proporcional al gradient de concentracions. El moviment és des de regions de major concentració a menys concentració.[2] Des del punt de vista atomista, la difusió es considera com el moviment aleatori de les partícules difusores. En la difusió molecular, les molècules que es mouen son auto- propulsades per energia tèrmica. Aquest passeig aleatòri va ser descobert al 1827 per Robert Brown.[3] Ara bé, el concepte de difusió és àmpliament utilitzat en la ciència: la física (difusió de partícules), la química i la biologia, la sociologia, l'economia i les finances (difusió de la gent, les idees i dels valors de preus). Pel que sembla, sempre el concepte de la moviment a l'atzar en els conjunts d'individus és aplicable.
Models Bàsics de Difusió
Flux de difusió
Cada model de difusió expressa el flux de difusió a traves de concentracions, densitats o derivats. Flux és el vector <math>\mathbf{J}</math>., la transferència d’una quantitat física <math>N</math> a través d’una àrea petita <math>\Delta S</math>, amb la normal <math>\nu</math> i el temps <math>\Delta t</math> és:
- <math>\Delta N = (\mathbf{J},\nu) \Delta S \Delta t +o(\Delta S \Delta t)\, ,</math>
On <math>(\mathbf{J},\nu)</math> és el producte interior i <math>o(...)</math> és una notació. Si es fa servir la notació del vector àrea <math>\Delta \mathbf{S}=\nu \Delta S</math> aleshores:
- <math>\Delta N = (\mathbf{J}, \Delta \mathbf{S}) \Delta t +o(\Delta \mathbf{S} \Delta t)\, . </math>
La dimensió del flux de difusió és [flux] = [quantitat] / ([temps] • [àrea]). La quantitat física difusora <math>N</math> pot ser el nombre de partícules, la massa, energia, càrrega elèctrica, o qualsevol altra quantitat escalar extensa. Per la seva densitat, , l'equació de difusió té la forma:
- <math>\frac{\partial n}{\partial t}= - \nabla \cdot \mathbf{J} +W \, ,</math>
On <math>W</math> és la intensitat de qualsevol font local, com per exemple la velocitat d’una reacció química. Per l’equació de difusió, en les condicions límits del no-flux, es pot formular <math>(\mathbf{J}(x),\nu(x))=0</math> en el límit, on <math>\nu</math> és la normal del punt <math>x</math> al límit.
Llei de Fick i equacions
- 1ra llei de Fick: el flux de difusió és proporcional al gradient negatiu de la concentració:
- <math>\mathbf{J}=-D \nabla n \ , \;\; J_i=-D \frac{\partial n}{\partial x_i} \ .</math>
D és el coeficient de difusió, considerem dos gasos amb molècules del mateix diàmetre d i la massa m (auto-difusió). En aquest cas, la teoria elemental significa camí lliure mitjà de difusió per al coeficient de difusió:
- <math>D=\frac{1}{3} \ell v_T = \frac{2}{3}\sqrt{\frac{k_{\rm B}^3}{\pi^3 m}}\frac{T^{3/2}}{Pd^2}\, ,</math>
On kB és la constant de Bolzmann T la temperatura, P la pressió, <math>\ell</math> és el camí lliure mitjà i vT és la velocitat tèrmica mitjana.
- <math>\ell = \frac{k_{\rm B}T}{\sqrt 2 \pi d^2 P}\, , \;\;\; v_T=\sqrt{\frac{8k_{\rm B}T}{\pi m}}\, .</math>
Podem veure que el coeficient de difusió en l'aproximació recorregut lliure mitjà creix amb T com T3/2 i disminueix amb P com 1/P. Si s'utilitza per P la llei del gas ideal P=RnT amb la concentració total de n, llavors es pot veure que per a la concentració de n donat el coeficient de difusió creix amb T com T3/2 i per la temperatura donada, disminueix amb la concentració total com 1/n.
Donat dos gasos diferents, A i B, amb masses moleculars mA, mB i diàmetres moleculars dA, dB, l'estimació camí lliure mitjà del coeficient de difusió de A a B i B a A és:
- <math>D_{\rm AB}=\frac{1}{3}\sqrt{\frac{k_{\rm B}^3}{\pi^3}}\sqrt{\frac{1}{2m_{\rm A}}+\frac{1}{2m_{\rm B}}}\frac{4T^{3/2}}{P(d_{\rm A}+d_{\rm B})^2}\, ,</math>
- La corresponent equació de difusió, 2na llei de Fick es:
- <math>\frac{\partial n(x,t)}{\partial t}=\nabla\cdot( D \nabla n(x,t))=D \Delta n(x,t)\ , </math>
On <math>\Delta</math>, és l’operador de Laplace:
- <math>\Delta n(x,t) = \sum_i \frac{\partial^2 n(x,t)}{\partial x_i^2} \ .</math>
Equació d’Onsager per difusió i termodifusió de multi components
Les lleis de Fick de la difusió descriuen una barreja en un medi. La concentració d’aquesta barreja ha de ser petita i el seu gradient també. la força motriu en la difusió en la primera llei de Fick és l’antigradient de la concentració <math>-\nabla n</math>.
Al 1931, Lars Onsager va incloure el procés de transport de multi components en el context general per equilibris no lineals de la termodinàmica. Per el transport de multi components,
- <math>\mathbf{J}_i=\sum_j L_{ij} X_j \, ,</math>
On <math>\mathbf{J}_i</math> és el flux de la quantitat física i (component) i <math>X_j</math> és la força termodinàmica j. Les forces termodinàmiques dels processos de transport van ser introduïdes per Onsager com el gradient espaial dels derivats de la densitat d’entropia:
- <math>X_i= {\rm grad} \frac {\partial s(n)}{\partial n_i}\ ,</math>
On <math>n_i</math> són les “les coordinades termodinàmiques”. Per la transferència de calor i massa es pot prendre <math>n_0=u</math> (la densitat d’energia interna) i <math>n_i</math> és la concentració per la component i. Les forces impulsores són els corresponents vectors espacials.
- <math>X_0= {\rm grad} \frac{1}{T}\ , \;\;\; X_i= - {\rm grad} \frac{\mu_i}{T}\; (i >0) ,</math>
Perquè
<math>{\rm d}s=\frac{1}{T}{\rm d}u-\sum_{i \geq 1}\frac{\mu_i}{T} {\rm d} n_i</math>
On T és la temperatura absoluta i <math>\mu_i</math> és el potencial químic del component i. Cal destacar que les equacions de difusió separades descriuen el transport de la mescla i la massa sense moviment a granel. Per tant, es poden menysprear els termes amb variació de la pressió total. És possible per la difusió de petits additius i petits gradients.
Vegeu també
Referències
- ↑ J. Philibert (2005). One and a half century of diffusion: Fick, Einstein, before and beyond. Diffusion Fundamentals, 2, 1.1--1.10.
- ↑ S.R. De Groot, P. Mazur (1962). Non-equilibrium Thermodynamics. North-Holland, Amsterdam.
- ↑ A. Einstein (1905), Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen. Ann. Phys., 17, 549--560.