Element invers

En matemàtiques, l'invers (també anomenat simètric) d'un element x d'un conjunt proveït d'una llei de composició interna unitària, <math>(A, *)</math>, és un element y de A tal que <math>x * y = y * x = e</math>, on e és l'element neutre de l'operació <math>*</math> en A. Diem aleshores que x és un element invertible. Quan l'operació és la suma se sol parlar d'element oposat en lloc de invers, i el representem per <math>-x</math>. Quan l'operació és el producte × se sol parlar de recíproc i es representa per <math>x^{-1}</math> o <math>\scriptstyle {\frac{1}{x}}</math>.

Per exemple, el recíproc (invers multiplicatiu) de 2 en el conjunt dels nombres racionals és ½ o 0,5, mentre que l'oposat (invers additiu) és -2. El recíproc i l'oposat del nombre imaginari i és -i ja que i·(-i) = 1 i i - i = 0.

Invers en un grupoide unitari

Quan l'operació no és commutativa cal distingir entre element invers per l'esquerra i invers per la dreta. Sigui x un element del grupoide unitari <math>(A,*)</math>, i e l'element neutre de l'operació <math>*</math> a A.

Si existeix un element <math>\overrightarrow{x}:A</math> tal que <math>\overrightarrow{x} * x = e</math>, direm que x és invertible per l'esquerra i que <math>\overrightarrow{x}</math> és l'invers per l'esquerra de x. Un element invertible per l'esquerra és simplificable per l'esquerra.
Si existeix un element <math>\overleftarrow{x}:A</math>tal que <math>x * \overleftarrow{x} = e</math>, direm que x és invertible per la dreta i que <math>\overleftarrow{x}</math> és l'invers per la dreta de x. Un element invertible per la dreta és simplificable per la dreta.
Si un element és invetible per l'esquerra i per la dreta, i els seus inversos són iguals, diem que és invertible bilateral o simplement invertible: <math>x * \bar{x} = \bar{x} * x = e</math>. En aquest cas el parell <math>x</math> i <math>\bar{x}</math> commuten. Un element invertible és simplificable.

Un element x pot tenir més d'un invers per l'esquerra i/o per la dreta. Noteu que, en general, si existeixen inversos per l'esquerra i per la dreta, aquests no tenen perquè ser iguals: <math>\overrightarrow{x} \neq \overleftarrow{x} </math>. Però, si la llei de composició és associativa, aleshores l'invers per la dreta és igual a l'invers per l'esquerra, i a més a més, únic.

Invers en un semigrup

El concepte d'invers és generalitzable a estructures sense element neutre, sempre que mantinguem l'associativitat. Primer, definim el concepte de regularitat. Segons von Neumann, un element x d'un semigrup <math>(S,*)</math> és regular si existeix un altre element y en S tal que <math>x*y*x = x</math>. Direm aleshores que y és un pseudoinvers de x. Direm, en canvi, que y és un invers de x si <math>x*y*x = x</math> i a més <math>y = y*x*y</math>. Noteu que, si existeix, l'invers no és necessàriament únic.

Tot element regular té al menys un invers. Si <math>x = x*z*x</math> aleshores <math>y = z*x*z</math> és un invers de x en el sentit a dalt definit.
Si y és un invers de x, aleshores <math>e=x*y</math> i <math>f=y*x</math> són elements idempotents: <math>e*e=e</math>, <math>f*f=f</math>. Per tant, tota parella d’elements mútuament inversos genera una parella d’elements idempotents, i <math>e*x=x*f=x</math>, <math>y*e=f*y=y</math>, és a dir, e actua com a identitat per l’esquerra per a x, mentre que f actua com a identitat per la dreta, amb els papers intercanviats en el cas de y. Tota parella d'inversos mutus, genera doncs, un element neutre local per l'esquerra i un element neutre local per la dreta.