Equació de Poisson

En matemàtiques lPlantilla:'equació de Poisson és una equació diferencial en derivades parcials que s'utilitza abastament en electrostàtica, enginyeria mecànica i física teòrica. Rep el seu nom en honor al matemàtic, geòmetra i físic francès Siméon Denis Poisson.

L'equació de Poisson és:

<math>\Delta \varphi = f</math>

on <math>\Delta</math> és l'operador laplacià, i f i φ són funcions amb valors reals o complexos sobre una varietat. Quan la varietat és un espai euclidià, l'operador laplacià s'acostuma a escriure com <math>{\nabla}^2</math> i l'equació de Poisson s'escriu com

<math>{\nabla}^2 \varphi = f</math>

En un sistema de coordenades cartesianes tridimensional pren la forma

<math>

\left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right)\varphi(x,y,z) = f(x,y,z). </math>

Per la desaparició de f, aquesta l'equació esdevé l'equació de Laplace

<math>\Delta \varphi = 0. \!</math>

L'equació de Poisson pot ser resolta utilitzant diferents mètodes com ara la funció de Green o mètodes numèrics com el mètode de les diferències finites o el mètode dels elements finits. D'altra banda en gravitació relativista s'utilitzen mètodes de resolució basats en la transformada de Fourier.

Electrostàtica

Una de les pedres angulars de l'electrostàtica és el plantejament i solució de problemes que són descrits per mitjà de l'equació de Poisson. Buscar φ per un valor f donat és un problema pratic important en tant que és la via habitual de trobar el potencial elèctric per a una distribució de càrrega donada. En unitats del SI:

<math>{\nabla}^2 \Phi = - {\rho \over \epsilon_0}</math>

on <math> \Phi \! </math> és el potencial elèctric (en volts), <math> \rho \!</math> és la densitat de càrrega (en coulombs per metre cúbic), i <math> \epsilon_0 \!</math> és la permitivitat del buit (en farads per metre).

A una regió de l'espai on no hi ha densitat de càrregues desaparellades, tenim

<math>\rho = 0, \, </math>

i l'equació per al potencial esdevé l'equació de Laplace:

<math>{\nabla}^2 \Phi = 0.</math>

Potencial d'una densitat de càrrega Gaussiana

Si hi ha una distribució gaussiana de densitat de càrrega simètrica en forma d'esfera <math> \rho(r) </math>:

<math> \rho(r) = \frac{Q}{\sigma^3\sqrt{2\pi}^3}\,e^{-r^2/(2\sigma^2)},</math>

on Q és la càrrega total, llavors la solució Φ (r) de l'equació de Poisson

<math>{\nabla}^2 \Phi = - { \rho \over \epsilon_0 } </math>

vindrà donada per

<math> \Phi(r) = { 1 \over 4 \pi \epsilon_0 } \frac{Q}{r}\,\mbox{erf}\left(\frac{r}{\sqrt{2}\sigma}\right)

</math>

on erf(x) és la funció d'error.

Aquesta solució pot ser comprovada per mitjà d'una avaluació manual de <math>{\nabla}^2 \Phi</math>.

Noteu que per a un valor de r molt més gran que σ, erf(x)s'aproxima a la unitat i el potencial Φ (r) s'aproxima al potencial elèctric de la càrrega puntual <math> { 1 \over 4 \pi \epsilon_0 } {Q \over r} </math>, tal com era d'esperar.

Problema de Neumann

El problema de Neumann és similar a l'anterior però en lloc de fixar el valor de la funció incògnita sobre la frontera, fixa el valor de la derivada perpendicularment a la superfície

(left) 3

Referències

• Poisson Equation a EqWorld: El món de les equacions.
• L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9