Equacions de Friedmann

Les equacions de Friedmann són un conjunt d'equacions en cosmologia física que governen l'expansió mètrica de l'espai en models homogenis i isòtrops de l'Univers dins del context de la teoria de la relativitat general. Van ser descobertes per Alexander Friedmann el 1922 a partir de les equacions de camp d'Einstein per a la mètrica de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker i un fluid amb una densitat d'energia (<math>\rho</math>) i una pressió (<math>p</math>) i una pressió (pàg.) determinada.

Les equacions

Les equacions són:

<math>H^2 \equiv \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8 \pi G \rho + \Lambda}{3} - K\frac{c^2}{a^2}</math>

<math>3\frac{\ddot{a}}{a} = \Lambda - 4 \pi G (\rho + \frac{3p}{c^2})</math>

• <math>\Lambda</math> és la constant cosmològica possiblement causada per l'energia del buit
• <math>G</math> és la constant de gravitació
• <math>c</math> és la velocitat de la llum
• <math>a</math> és el factor d'escala de l'Univers
• <math>K</math> és la curvatura gaussiana quan <math>a = 1</math> (per exemple, avui).

Si la forma de l'univers és hiperesfèrica i <math>R</math> és el radi de curvatura (<math>R_0</math> en el moment actual), llavors <math>a = R/R_0</math>. Generalment, <math>K \over a^2</math> és la curvatura gaussiana. Si <math>K</math> és positiva, llavors l'Univers és hiperesfèric. Si <math>K</math> és zero, l'Univers és pla i si <math>K</math> és negatiu l'Univers és hiperbòlic. A més, <math>\rho</math> i <math>p</math> són funció de <math>a</math>. El paràmetre de Hubble, <math>H</math>, és la velocitat d'expansió de l'univers.

Aquestes equacions de vegades se simplifiquen redefinint la densitat d'energia i la pressió:

<math>\rho \rightarrow \rho - \frac{\Lambda}{8 \pi G}</math>

<math>p \rightarrow p + \frac{\Lambda c^2}{8 \pi G}</math>

per a obtenir:

<math>H^2 \equiv \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8 \pi G}{3} \rho - K\frac{c^2}{a^2}</math>

<math>3 \, \frac{\ddot{a}}{a} = - 4 \pi G \left(\rho + \frac{3p}{c^2}\right)</math>

El paràmetre de Hubble pot canviar en el temps si altres elements de l'equació són dependents del temps, en particular la densitat d'energia, l'energia del buit i la curvatura. Avaluant el paràmetre de Hubble en el moment actual surt que la constant de Hubble és la constant de proporcionalitat de la llei de Hubble. Si s'aplica a un fluid amb una equació d'estat determinada, les equacions de Friedmann donen com a resultat l'evolució en el temps i la geometria de l'Univers com a funció de la densitat del fluid.

Alguns cosmòlegs anomenen la segona d'aquestes dues equacions l'equació d'acceleració i es reserven el terme equació de Friedmann només per a la primera equació.

El paràmetre de densitat

El paràmetre de densitat , <math>\Omega</math>, es defineix com la relació de la densitat actual, o observada, <math>\rho</math> respecte a la densitat crítica <math>\rho_c</math> de l'Univers de Friedmann. Una expressió per a la densitat crítica es troba assumint que <math>\Lambda</math> és zero, com ho és per a tots els universos de Friedmann bàsics, i establint la curvatura <math>K</math> igual a zero. Quan se substitueixen aquests paràmetres a la primera equació de Friedmann trobem que:

<math>\rho_c = \frac{3 H^2}{8 \pi G} </math>

I l'expressió per al paràmetre de densitat, útil per a comparar diferents models cosmològics, és:

<math>\Omega \equiv \frac{\rho}{\rho_c} = \frac{8 \pi G}{3 H^2}\rho</math>

Aquest terme originalment va ser utilitzat com una manera de determinar la geometria del camp en el qual <math>\rho_c</math> és la densitat crítica per a la qual la geometria és plana. Assumint una densitat d'energia del buit nul·la, si <math>\Omega</math> és més gran que un, la geometria és tancada i l'Univers eventualment pararà la seva expansió i llavors es col·lapsarà. Si <math>\Omega</math> és menor que u, serà obert i l'Univers s'expandirà per sempre. Tanmateix, també es poden sintetitzar els termes de curvatura i de l'energia del buit en una expressió més general per a en el cas que aquest paràmetre de densitat d'energia sigui exactemente igual a la unitat. Llavors és una qüestió de mesurar els diferents components, normalment designats per subíndexs. D'acord amb el model Lambda-CDM, hi ha importants components de <math>\Omega</math> a causa de barions, matèria fosca freda i energia fosca. La geometria de l'espai-temps va ser mesurada pel satèl·lit WMAP estant a prop de ser una geometria plana, és a dir, el paràmetre de curvatura <math>K</math> és aproximadament zero.

La primera Equació de Friedmann sovint s'escriu formalment amb els paràmetres de densitat.

<math>\frac{H^2}{H_0^2} = \Omega_R a^{-4} + \Omega_M a^{-3} + \Omega_{\Lambda} - K c^2 a^{-2}</math>

• <math>\Omega_R</math> és la densitat de radiació actual;
• <math>\Omega_M</math> és la densitat de matèria actual (la fosca més la bariònica);
• <math>\Omega_\Lambda</math> és la constant cosmològica o la densitat de buit actual.

Els valors acceptats en l'actualitat per a aquests paràmetres són de 0,002 per a la densitat de radiació, 0,29±0,03 per a la densitat de matèria fosca i bariònica en l'actualitat, i de 0,71±0,03 per la densitat de l'energía del buit.

Equació de Friedmann reescalada

Establint que <math>a=\tilde{a}a_0, \rho_c=3H_0^2/8\pi G, \rho=\rho_c \Omega, t=\tilde{t}/H_0, \Omega_c = -K/H_0^2 a_0^2</math> on a_0 i H_0 són separadament el factor d'escala i el paràmetre d'Hubble actuals. Llavors podem trobar que:

<math>\frac{1}{2}\left( \frac{d\tilde{a}}{d\tilde{t}}\right)^2 + U_{\rm eff}(\tilde{a})=\frac{1}{2}\Omega_c</math>

on <math>U_{eff}(\tilde{a}) = \Omega\tilde{a}^2/2</math>. Per a qualsevol forma del potencial efectiu <math>U_{eff}(\tilde{a})</math>, hi ha una equació d'estat <math>p = p(\rho)</math> que la produirà.

Vegeu també

• Big Bang
• Fons còsmic de microones