Espiral logarítmica
Una espiral logarítmica és una classe de corba espiral que apareix freqüentment a la naturalesa. Fou descrita per primera vegada per Descartes i posteriorment investigada per Jakob Bernoulli, qui l'anomenà Spira mirabilis, l'"espiral meravellosa", i en volgué una gravada a la seva làpida. Desafortunadament, se'n gravà al seu lloc una espiral d'Arquimedes.
Definició
En coordenades polars (r, θ) la corba pot ésser descrita com a
- <math>r = a b^\theta \mbox{o}\ \theta = \log_{b} (r/a)</math>, d'aquí el nom "logarítmica"
i en forma paramètrica com a
- <math>x(\theta) = a b^\theta \cos(\theta)\,</math>
- <math>y(\theta) = a b^\theta \sin(\theta)\,</math>
amb nombres reals positius a i b. a és un factor d'escala que determina la mida de la espiral, mentre b controla com de forta i en quina direcció està enrotllada. Per b >1 la espiral s'expandeix amb un increment θ, i per b <1 es contrau.
En termes de geometria diferencial la espiral pot definir-se com a una croba c(t) amb un angle constant α entre el radi i el vector tangent
- <math>\arccos \frac{\langle \mathbf{c}(t), \mathbf{c}'(t) \rangle}{\|\mathbf{c}(t)\|\|\mathbf{c}'(t)\|} = \alpha </math>
Si α = 0 la espiral logarítmica degenera en una línia recta. Si α = ± π / 2 la espiral logarítmica degenera en un cercle.
