Estadística de Fermi-Dirac
A la física estadística, l'estadística de Fermi-Dirac (o més col·loquialment estadística F-D) determina la distribució estadística d'un conjunt de fermions indistingibles en equilibri tèrmic sobre un conjunt d'estats d'energia.
Els fermions estan subjectes al principi d'exclusió de Pauli: un determinat estat quàntic pot estar ocupat per no més d'un fermió en cada instant de temps. Matemàticament, això s'expressa dient que el nombre mitjà de fermions en un estat i <math>n_i</math> ve determinat per l'expressió
<math> n_i = \frac {g_i} {e^{(\varepsilon_i-\mu)/kT} + 1} </math>
on <math>\varepsilon_i \geq \mu</math> i:
- <math>g_i</math> és la degeneració de l'estat i
- <math>\varepsilon_i</math> és l'energia de l'estat i
- <math>\mu</math> és el potencial químic del sistema
- <math>k_B</math> és la constant de Boltzmann
- <math>T</math> és la temperatura absoluta
Aquesta expressió es redueix a la corresponent a l'estadística de Maxwell-Boltzmann per a energies grans (<math>\varepsilon_i-\mu \gg k_BT</math>).
A baixes temperatures <math>T</math>, un sistema de <math>N</math> fermions tendirà a omplir els <math>N</math> estats de menor energia. A <math>T=0</math>, parlem de mar de Fermi per referir-nos al conjunt de nivells energètics ocupats. El(s) darrer(s) estats ocupats tindran una energia <math>E_F</math> que s'anomena 'energia de Fermi'. Anàlogament, anomenem superfície de Fermi el conjunt d'estats l'energia dels quals és igual a <math>E_F</math>. Per exemple, en el cas d'un sistema homogeni de fermions no interactuants, a <math>T=0</math> els estats ocupats són els estats amb moment <math>\vec{p}</math> tal que <math>p=|\vec{p}| \leq p_F</math>, on <math>p_F</math> és el moment de Fermi, i <math>E_F=\hbar^2p_F^2/(2m)</math>, essent <math>m</math> la massa dels fermions.
L'estadísitca de Fermi-Dirac va ser introduida el 1926 per Enrico Fermi[1], i posteriorment redescoberta independentment per P. A. M. Dirac[2], per comprendre com els electrons ocupaven els estats energètics atòmics d'acord amb la nova teoria quàntica. A partir d'aquests treballs va ser possible comprendre des d'un punt de vista fonamental l'estructura de la taula periòdica dels elements.
Referències
- ↑ E. Fermi, "Sulla quantizzazione del gas perfetto monoatomico" (Sobre la quantització del gas perfecte monoatòmic), Lincei Rend. 3, 145-149 (1926); "Zur Quantelung des Idealen Einatomigen Gases" (id.), Z. Physik 36, 902 (1926).
- ↑ P. A. M. Dirac, "On the Theory of Quantum Mechanics" (Sobre la Teoria de la Mecànica Quàntica), Proc. Roy. Soc. A112, 661 (1926).