Factor d'integració
En matemàtiques, hom resol certes equacions diferencials ordinàries mitjançant un factor d'integració o factor integrand. El factor d'integració és sols una funció agafada de manera tal que permet resoldre l'equació desitjada.
Considerant una equació diferencial ordinària de la forma
- <math>y'+a(x)y = b(x)\quad\quad\quad (1)\,</math>
on <math>y=y(x)</math> és una funció desconeguda de <math>x</math>, i <math>a(x)</math> i <math>b(x)</math> són funcions donades.
El factor d'integració funciona de manera que transforma la banda esquerra de l'equació en la forma de la derivada d'un producte.
Consident una funció <math>M(x)</math>. Es multipliquen ambdues bandes de (1) per <math>M(x):</math>
- <math>M(x)y' + M(x)a(x)y = M(x)b(x)\quad\quad\quad (2)</math>
Es vol que la banda esquerra quedi de la forma d'una derivada del producte. De fet, si s'assumeix això, la banda esquerra es pot reordenar com a
- <math>(M(x)y)' = M(x)b(x)\quad\quad\quad (3)\,</math>
I això es pot integrar,
- <math>y(x) M (x) = \int\limits_{}^{}\! b(x) M(x)\,dx + C\,</math>
on <math>C</math> és una constant (veure constant arbitrària d'integració). I ara es pot resoldre per <math>y(x),</math>
- <math>y(x) = \frac{\int\limits_{}^{}\! b(x) M(x)\, dx + C}{M(x)}\,</math>
Tanmateix, per resoldre explícitament per <math>y(x)</math> es necessita trobar l'expressió de <math>M(x).</math> Es pot deduir de (2) que <math>M(x)</math> obeeix l'equació diferencial
- <math>M'(x)-a(x)M(x) = 0\quad\quad\quad (4)\,</math>
Per aconseguir <math>M(x)</math>, es divideixen les dues bandes per <math>M(x):</math>
- <math>\frac{M'(x)}{M(x)}-a(x) = 0\quad\quad\quad (5)\,</math>
L'equació (5) ara és de la forma d'una derivada logarítmica. Resolent (5) s'obté
- <math>M(x)=e^{\int\limits_{}^{}\!a(x)\,dx}\,</math>
Es pot veure que multiplicar per <math>M(x)</math> i la propietat <math>M'(x) = a(x)M(x)</math> són essencials per resoldre aquesta equació diferencial. <math>M(x)</math> s'anomena factor d'integració. El nom prové del fet que és una integral, i es comporta com un múltiple de l'equació (d'aquí el factor).
Exemple
Donada l'equació diferencial
- <math>y'-\frac{2y}{x} = 0</math>
Es pot observar que en aquest cas <math>a(x) = \frac{-2}{x}</math>
- <math>M(x)=e^{\int\limits_{}^{}\!a(x)\,dx}</math>
- <math>M(x)=e^{\int\limits_{}^{}\!\frac{-2}{x}\,dx}</math>
- <math>M(x)=\frac{1}{x^2}</math>
Multiplicant ambdues bandes per <math>M(x)</math> s'obté
- <math>\frac{y'}{x^2} - \frac{2y}{x^3} = 0</math>
- <math>\left(\frac{y}{x^2}\right)' = 0</math>
o bé
- <math>\frac{y}{x^2} = C</math>
que dóna
- <math>y(x) = Cx^2\,</math>