Factorial

El factorial d'un nombre natural n és el producte de tots els nombres naturals menors i iguals a n. S'escriu n! i s'anomena "n factorial":

<math>n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot (n-3) \cdot \ldots \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1</math>

és a dir,

<math>n!=\prod_{k=1}^n k\qquad\mbox{per a tot }n \ge 0 \!</math>

Per exemple, 5! = 5·4·3·2·1 = 120, mentre que 0! = 1 per definició. Els factorials dels deu primers nombres enters són:

0! = 1

1! = 1

2! = 2

3! = 6

4! = 24

5! = 120

6! = 720

7! = 5040

8! = 40320

9! = 362880

10! = 3628800

La notació ! fou introduïda per Christian Kramp el 1808.

Aplicacions

Els factorials s'utilitzen molt en la branca de les matemàtiques anomenada combinatòria, a través del binomi de Newton, que dóna els coeficients de la forma desenvolupada de (a + b)^n:

(a + b)ⁿ = aⁿ + n × a^{n − 1} × b + C_{n, 2} × a^{n − 2} × b² + ... + n × a × b^{n − 1} + bⁿ

amb: <math>C_{n,k} = \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \frac{n!}{(n - k)! \cdot k!}</math>

Per mitjà de la combinatòria, els factorials intervenen en el càlcul de les probabilitats. Intervenen també en l'àmbit de l'anàlisi, en particular a través del desenvolupament polinomial de les funcions (fórmula de Taylor). Es generalitzen als reals amb la funció gamma, de gran importància en el camp de l'aritmètica.

Existeix un equivalent, quan n tendeix a l'infinit, del factorial de n, donat per la fórmula de Stirling:

n! ≈ √(2πn) (n/e)ⁿ.

L'avantatge d'aquesta fórmula és que no precisa inducció, i per tant permet avaluar n! més ràpidament (encara que en forma aproximada) quan major sigui n.

Implementació en informàtica

Aquest algorisme es pot escriure en C++ utilitzant una funció recursiva:

int factorial(int n) {
if(n == 0) return 1;
return n*factorial(n - 1);
}

La funció gamma

El concepte de factorial és natural per als nombres enters, però la idea es pot generalitzar a nombres reals gràcies a la funció gamma, que defineix el factorial de la següent manera:

<math>z!=\Gamma(z+1)=\int_{0}^{\infty} t^z e^{-t}\, dt \!</math>

que, a més, també permet estendre el concepte als nombres complexos, exceptuats els enters negatius.

Enllaços externs

• Factorial n! (en anglès, francès i txec).