Funció contínua
Plantilla:Metacaixa d'avís [[Categoria:Articles per fusionar des Plantilla:Deod']]
<templatestyles src="Metacaixa enllaç de desambiguació/styles.css" />
|
«Continuïtat» redirigeix aquí. Vegeu-ne altres significats a «Continuïtat (desambiguació)». |
Funció contínua és un terme utilitzat en matemàtiques i, en particular, en topologia.
Definició matemàtica per funcions de variables reals
Funció contínua en un punt
Siguin <math>I</math> un interval de <math>\mathbb R</math>, <math>f</math> una aplicació de <math>I</math> a <math>\mathbb R</math>, i <math>x_0</math> un punt de <math>I</math>. Es diu que <math>f</math> és contínua en el punt <math>x_0</math> si i només si:
<math>\forall \varepsilon >0,\exists \delta>0,\,x\in\,]x_0-\delta,x_0+\delta[\,\cap I\Longrightarrow |f(x)-f(x_0)|\le \varepsilon\,</math>
És a dir, una funció és contínua quan per qualsevol punt <math>x</math> del seu domini podem trobar un interval tal que la seva imatge estigui continguda en un interval tan petit com vulguem al voltant de la seva imatge <math>f(x)</math>.
Continuïtat i límits
Si <math>f</math> és contínua en <math>x_0</math>, llavors <math>\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)</math>.
Si això és cert únicament per a <math>x>x_0</math>, es diu que <math>f</math> és contínua a la dreta de <math>x_0</math>.
De la mateixa forma, si és contínua per a <math>x<x_0</math>, <math>f</math> és contínua a l'esquerra de <math>x_0</math>.
Dir que <math>f</math> és contínua en <math>x_0</math> significa que aquesta aplicació és contínua a la dreta i a l'esquerra d'aquest punt.
Continuïtat en un interval
Es diu que <math>f</math> és contínua en <math>[a,b]</math> si és contínua en tots el punts d'aquest interval.
És a dir:
<math>\forall x\in[a,b],\,\forall \varepsilon >0,\exists \delta>0,\,y\in\,]x-\delta,x+\delta[\,\cap I\Longrightarrow |f(x)-f(y)|\le \varepsilon\,</math> ,
que equival a què:
- <math>f</math> és contínua a <math>]a,b[</math>.
- El límit a la dreta de <math>f(x)</math> quan <math>x \to a</math> val <math>f(a)</math> i el límit a l'esquerra quan <math>x \to b</math> val <math>f(b)</math>.
Derivabilitat i continuïtat
Qualsevol funció derivable en un punt o en un interval, és igualment contínua en aquest punt o interval.
El recíproc és fals.
Per exemple, la funció <math>f(x)=|x|</math> (valor absolut de <math>x</math> és una funció contínua a <math>\mathbb R</math>, en canvi, no és derivable en el punt <math>x=0</math>.
Funcions usuals
Les funcions polinòmiques, exponencials, logarítmiques, hiperbòliques, trigonomètriques són derivables en els intervals en què estan definides, i són, doncs, igualment contínues en aquests intervals.
Tipus de discontinuïtats de funcions d'una variable real
Discontinuïtat asimptòtica
Una funció f(x) presenta una discontinuïtat asimptòtica en un punt a quan no està definida en aquest punt i el límit de la funció en aquest punt és de tipus infinit. Es pot donar un dels quatre casos diferents:
(1) <math>\scriptstyle{\lim_{x \to a}{f(x)= \infty}}</math> (2) <math>\scriptstyle{\lim_{x \to a}{f(x)= -\infty}}</math> (3) <math>\scriptstyle{\lim_{x \to a^-}{f(x)= +\infty}}</math> i <math>\scriptstyle{\lim_{x \to a^+}{f(x)= -\infty}}</math> (4) <math>\scriptstyle{\lim_{x \to a^-}{f(x)= -\infty}}</math> i <math>\scriptstyle{\lim_{x \to a^+}{f(x)= +\infty}}</math>
La recta x=a s'anomena asímptota vertical.
Exemple:
Discontinuïtat de salt
Una funció f(x) presenta una discontinuïtat de salt en un punt a quan els límits laterals en aquest punt no són iguals: <math>\lim_{x \to a^-}{f(x)}\neq \lim_{x \to a^+}{f(x)}</math>
Exemple:
Discontinuïtat evitable
Una funció f(x) presenta una discontinuïtat evitable en un punt a quan la funció té límit en aquest punt però no coincideix amb el valor de la funció, bé perquè no està definida, bé perquè és diferent: <math>\lim_{x \to a^-}{f(x)} = \lim_{x \to a^+}{f(x)} = \lim_{x \to a}{f(x)}\neq {f(a)}</math>
Per tant, la funció f es podria fer contínua només redefinint f(a).
Exemple:
Àlgebra de les funcions contínues i composició de funcions contínues
Per definició:
<math>f</math> contínua a <math>a \Leftrightarrow \lim_{x \to a}f(x) = f(a)</math>.
Dels teoremes sobre els límits resulta:
Àlgebra de les funcions contínues
Siguin <math>f</math> i <math>g</math> dues funcions contínues en un mateix interval <math>I</math>. Llavors:
- <math>\alpha f + \beta g \quad \forall (\alpha, \beta) \in \R^2</math> (combinació lineal)
- <math>f\cdot g</math> (producte)
- <math>\frac{f}{g}\quad (g \ne 0)</math> (quocient)
són funcions contínues a <math>I</math>.
Composició de funcions contínues
Si <math>f</math> és contínua a <math>I</math> i <math>g</math> és contínua a <math>f(I)</math> llavors <math> g \circ f </math> és contínua a <math>I</math>.
Funcions contínues entre espais topològics
La definició esmentada de funció continua es pot expressar de forma més general a les funcions entre dos espais topològics; donada una funció <math>f:A\longrightarrow B</math> entre dos espais topològics, aquesta és continua si i només si per a tot obert <math>O\subseteq B</math> es dóna que <math>f^{-1}\left[O\right]</math> és un obert de <math>A</math>.
Vegeu també
Enllaços externs