Funció d'una variable complexa diferenciable en sentit real
Aquest article serveix d'introducció a l'article sobre les equacions de Cauchy-Riemann. S'hi defineix les derivades parcials (respecte a <math>\ x, y</math> o <math>\ z, \bar{z}</math>) i la diferenciabilitat en sentit real de les funcions (de valor complex) d'una variable complexa.
Considerem aquí una funció <math> \ f : U \to \mathbb[[:Categoria:{{{1}}}|{{{1}}}]]</math> d'una variable complexa, definida en un obert U de <math>\mathbb[[:Categoria:{{{1}}}|{{{1}}}]]</math>. Emprem les notacions següents :
- la variable complexa <math>\ z</math> es nota per <math>\ x + i\, y</math>, on x, y són reals
- les parts real i imaginària de <math>\ f(z) = f(x + i\, y)</math> es noten respectivament per <math>\ P(x, y)</math> i <math>\ Q(x, y)</math>, es a dir : <math>\ f(z) = P(x, y) + i\, Q(x, y)</math>, on <math>\ P,\, Q</math> són dues funcions reals de dues variables reals.
Derivades parcials d'una funció d'una variable complexa
Derivades parcials respecte a x i y
Definició : sigui <math>\ z_0 = x_0 + i\, y_0 \in U</math>, on <math>\ x_0,\, y_0</math> són reals.
- diem que f té derivada parcial (primera) al punt <math>\ z_0</math> respecte a la variable x, notada per <math>\frac{\partial f}{\partial x}(z_0)</math> si existeix el límit (finit) <math>\frac{\partial f}{\partial x}(z_0) = \lim_{u \to 0,\, u\, \in\, \mathbb[1]^*} \frac{f(z_0+u) - f(z_0)}{u} </math>
- diem que f té derivada parcial (primera) al punt <math>\ z_0</math> respecte a la variable y, notada per <math>\frac{\partial f}{\partial y}(z_0)</math> si existeix el límit (finit) <math>\frac{\partial f}{\partial y}(z_0) = \lim_{v \to 0,\, v\, \in\, \mathbb[1]^*} \frac{f(z_0+i\, v) - f(z_0)}{v} </math>
Propietat :
- la derivada parcial <math>\frac{\partial f}{\partial x}(z_0)</math> existeix si i només si les derivades parcials <math>\frac{\partial P}{\partial x}(x_0, y_0)</math>, <math>\frac{\partial Q}{\partial x}(x_0, y_0)</math> existeixen, i aleshores <math>\frac{\partial f}{\partial x}(z_0) = \frac{\partial P}{\partial x}(x_0, y_0) + i\, \frac{\partial Q}{\partial x}(x_0, y_0)</math>
- la derivada parcial <math>\frac{\partial f}{\partial y}(z_0)</math> existeix si i només si les derivades parcials <math>\frac{\partial P}{\partial y}(x_0, y_0)</math>, <math>\frac{\partial Q}{\partial y}(x_0, y_0)</math> existeixen, i aleshores <math>\frac{\partial f}{\partial y}(z_0) = \frac{\partial P}{\partial y}(x_0, y_0) + i\, \frac{\partial Q}{\partial y}(x_0, y_0)</math>
Derivades parcials d'ordre superior :
- si, per exemple, <math>\frac{\partial f}{\partial x}(z_0)</math> existeix en tot punt <math>\ z_0 \in U</math>, es defineix la funció <math>\frac{\partial f}{\partial x} : U \to \mathbb[[:Categoria:{{{1}}}|{{{1}}}]],\, z \mapsto \frac{\partial f}{\partial x}(z)</math>
- si, a més a més, la funció <math>\frac{\partial f}{\partial x}</math> té derivada parcial primera al punt <math>\ z_0</math> respecte a la variable x, la notem per <math>\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(z_0)</math> : <math>\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(z_0)= \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)(z_0)</math>. Semblantment, si existeix <math>\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)(z_0)</math>, la notem per <math>\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(z_0)</math>, etc.
Derivades parcials respecte a <math>\ z</math> i <math>\ \bar{z}</math>
Definició : suposem que f tingui derivades parcials primeres respecte a x i y al punt <math>\ z_0</math>. Aleshores, definim :
- <math>\frac{\partial f}{\partial z}(z_0) = \frac{1}{2}\, \left(\frac{\partial f}{\partial x}(z_0) - i\, \frac{\partial f}{\partial y}(z_0)\right)</math>
- <math>\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}(z_0) = \frac{1}{2}\, \left(\frac{\partial f}{\partial x}(z_0) + i\, \frac{\partial f}{\partial y}(z_0)\right)</math>
Propietat : en conservar les hipòtesis precedents
- <math>\frac{\partial f}{\partial x}(z_0) = \frac{\partial f}{\partial z}(z_0) + \frac{\partial f}{\partial \bar{z}}(z_0)</math>
- <math>\frac{\partial f}{\partial y}(z_0) = i\, \left(\frac{\partial f}{\partial z}(z_0) - \frac{\partial f}{\partial \bar{z}}(z_0)\right)</math>
Diferenciabilitat en sentit real de les funcions d'una variable complexa
Es diu que una funció d'una variable complexa és diferenciable en sentit real, o <math>\mathbb{R}</math>-diferenciable en un punt si es pot aproximar localment (a l'entorn d'aquell punt) per la suma d'una constant i d'una funció <math>\mathbb{R}</math>-lineal, anomenada diferencial.
- Definició : diem que una aplicació <math>L : \mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> és <math>\mathbb{R}</math>-lineal si : <math>\forall\, \alpha \in \mathbb{R}, \forall\, \beta \in \mathbb{R}, \forall\, z \in \mathbb{C}, \forall\, w \in \mathbb{C}, L(\alpha\, z + \beta\, w) = \alpha L(z) + \beta L(w)</math>.
- (aleshores : <math>\forall u \in \mathbb{R},\, \forall v \in \mathbb{R},\, L(u + i\, v) = u L(1)+ v L(i)</math>)
- Definició : diem que la funció <math> \ f : U \to \mathbb[[:Categoria:{{{1}}}|{{{1}}}]]</math> és <math>\mathbb{R}</math>-diferenciable en un punt <math>z_0 \in U</math> si existeixen una aplicació <math>\mathbb{R}</math>-lineal <math>L : \mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> i una funció <math>\ \epsilon</math> d'una variable complexa tals que <math>\epsilon(h) \to 0</math> quan <math>h \to 0</math> i <math>f(z_0+h) = f(z_0) + L(h) + h\, \epsilon(h)</math> (suposant que <math>\ |h | < r</math>, on r és el radi d'una bola tal que <math>\ B(z_0,\, r) \subset U</math>).
- Quan existeix, l'aplicació L és única (com a conseqüència de la propietat següent) ; s'anomena <math>\mathbb{R}</math>-diferencial o diferencial de <math>\ f</math> en <math>\ z_0</math> i es nota habitualment per <math>\ df(z_0)</math>.
- Diem que <math>\ f</math> és <math>\mathbb{R}</math>-diferenciable en U si és <math>\mathbb{R}</math>-diferenciable en tot punt de U.
- Propietat : quan <math>\ f</math> és <math>\mathbb{R}</math>-diferenciable en un punt <math>\ z_0 \in U</math>, aleshores
- és contínua en <math>\ z_0</math>
- té derivades parcials primeres en <math>z_0</math>, i
- <math>\frac{\partial f}{\partial x}(z_0) = L(1) = df(z_0)(1)</math>
- <math>\frac{\partial f}{\partial y}(z_0) = L(i) = df(z_0)(i)</math>.
demostració :
- continuïtat : <math>f(z_0+h) = f(z_0) + L(h) + h\, \epsilon(h) \to f(z_0)</math> quan <math>h \to 0</math> perquè <math>L(h) \to 0</math> (la <math>\mathbb{R}</math>-diferencial L és un endomorfisme d'un espai vectorial de dimensió finita, per tant és contínua) i <math> h\, \epsilon(h) \to 0</math>.
- existència i expressió de les derivades parcials primeres :
- per a tot u real tal que <math>\ |u | < r</math>, <math>f(z_0+u) = f(z_0) + L(u) + u\, \epsilon(u) = f(z_0) + u L(1) + u\, \epsilon(u)</math> ; per tant, si <math>u \neq 0</math>, <math>\frac{f(z_0+u) - f(z_0)}{u} = L(1) + \epsilon(u) \to L(1)</math> quan <math>u \to 0</math> : això prova l'existència de la derivada parcial de la funció <math>\ f</math> en <math>\ z_0</math> respecte a <math>\ x</math>, i la igualtat <math>\frac{\partial f}{\partial x}(z_0) = L(1)</math>
- per a tot v real tal que <math>\ |v | < r</math>, <math>f(z_0+i\, v) = f(z_0) + L(i\, v) + i\, v\, \epsilon(i\, v) = f(z_0) + v L(i) + i\, v\, \epsilon(i\, v)</math> ; per tant, si <math>v \neq 0</math>, <math>\frac{f(z_0+i\, v) - f(z_0)}{v} = L(i) + i\, \epsilon(i\, v) \to L(i)</math> quan <math>v \to 0</math> : això prova l'existència de la derivada parcial de la funció <math>\ f</math> en <math>\ z_0</math> respecte a <math>\ y</math>, i la igualtat <math>\frac{\partial f}{\partial y}(z_0) = L(i)</math>.
- Teorema : una condició suficient (no necessària) de <math>\mathbb{R}</math>-diferenciabilitat en un punt, o en un obert.
- si <math>\ f</math> té derivades parcials primeres respecte a x i y (o a <math>\ z</math> i <math>\ \bar{z}</math>) en tot punt d'un entorn de <math>\ z_0 \in U</math>, i si <math>\frac{\partial f}{\partial x}</math>, <math>\frac{\partial f}{\partial y}</math> (o <math>\frac{\partial f}{\partial z}</math>, <math>\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}</math>) són contínues en <math>\ z_0</math>, aleshores <math>\ f</math> és <math>\mathbb{R}</math>-diferenciable en <math>\ z_0</math>
- en particular, si <math>\ f</math> té derivades parcials primeres respecte a x i y (o a <math>\ z</math> i <math>\ \bar{z}</math>) definides i contínues en tot punt de U, la funció <math>\ f</math> és <math>\mathbb{R}</math>-diferenciable en U. En aquest cas, es diu que <math>\ f</math> és <math>\mathbb{R}</math>-contínuament diferenciable en U, o de classe <math>\ C^1</math> en U.