Funció eta de Dirichlet

Funció eta de Dirichlet <math> \eta (s) </math> al pla complex. El color en un punt <math> s </math> codifica el valor de <math> \eta (s) </math>. Colors forts denoten valors pròxims a zero i el to codifica el valor del argument.

En matemàtiques la funció eta de Dirichlet es defineix com

<math>\eta(s) = \left(1-2^{1-s}\right) \zeta(s)</math>

on ζ és la funció zeta de Riemann. Malgrat tot, també pot ser usada per definir la funció zeta. Té una expressió a la sèrie de Dirichlet, vàlida per a tot nombre complex s amb part real positiva, donat per

<math>\eta(s) = \sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1} \over n^s}.</math>

Si bé esta es convergent només per s amb part real positiva és sumable Abel per tot nombre complex, que permet definir la funció eta com una funció completa, i motra que la funció zeta és meromòrfica amb un pol simple a s = 1.

En forma equivalent es pot definir

<math>\eta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^\infty \frac{x^s}{\exp(x)+1}\frac{dx}{x}</math>

a la regió de part real positiva.

Bibliografia

• Borwein, P., An Efficient Algorithm for the Riemann Zeta Function, Constructive experimental and nonlinear analysis, CMS Conference Proc. 27 (2000), 29-34.
• Xavier Gourdon and Pascal Sebah, Numerical evaluation of the Riemann Zeta-function, Numbers, constants and computation (2003)
• Borwein, P., http://www.cecm.sfu.ca/~pborwein/
• Knopp, Konrad. Theory and Application of Infinite Series. Dover, 1990. ISBN 0-486-66165-2.