Grup cíclic

Un grup és cíclic pot ser generat per algun element. Això vol dir que hi ha, almenys, un element g del grup, que es diu generador de manera que tots els elements del grup són de la forma n g (en notació additiva) o gⁿ (en notació multiplicativa), per un cert nombre enter n. Naturalment, 0 = 0 g i g = 1 g (en notació additiva) o <math>1 = g^{0}</math> i <math>g = g^{1}</math> (en notació multiplicativa).

Exemples

L'exemple més obvi és el grup additiu de l'anell <math>\mathbb Z</math> dels nombres enters: es tracta d'un grup cíclic infinit i <math>1</math> i <math>-1</math> en són els únics generadors.

També són cíclics tots grups additius dels anells <math>\Z / (n)</math> (també escrit ℤ/nℤ) de classes de residu mòdul n, és a dir, de classes de congruència sobre els enters. En aquest cas es tracta de grups finits.

En canvi, els grups multiplicatius de les unitats dels anells <math>\Z / (n)</math> són cíclics si, i només si, el nombre <math>n</math> és d'una d'aquestes quatre formes: 2, 4, p^k o 2p^k. En la teoria de nombres tradicional, els generadors dels grups multiplicatius de les unitats dels anells <math>\Z / (n)</math> es diuen arrels primitives mòdul n.

No cal dir que el grup trivial és cíclic.

Estructura

El fet més important quant als grups cíclics és que qualsevol grup cíclic infinit és isomorf al grup additiu de l'anell ℤ dels nombres enters. A més, qualsevol grup cíclic finit d'ordre n és isomorf al grup additiu de ℤ/nℤ de congruències mòdul n.

Això implica que l'estudi dels grups cíclics es redueix a l'estudi dels grups additius de ℤ i ℤ/nℤ.

D'altra banda, tot grup abelià finitament generat es isomorf al producte directe d'un nombre finit de grups cíclics.

Propietats

De l'isomorfisme mencionat abans en resulta que tot grup cíclic és un grup abelià.
Tot grup d'ordre un nombre primer és cíclic.
Tots els subgrups d'un grup cíclic són cíclics. Si <math>\mathbf{G}</math> és un grup cíclic d'ordre <math>n</math>, aleshores, per cada divisor <math>d</math> de <math>n</math> hi ha exactament un subgrup d'ordre <math>d</math>, el qual, si <math>g</math> és un generador de <math>\mathbf{G}</math>, és generat per <math>g^{\frac{n}{d}}</math>.El grup <math>\mathbf{G}</math> no té cap altre subgrup d'ordre <math>d</math>.
Tot quocient d'un grup cíclic és cíclic.
Sigui <math>g</math> és un generador d'un cert grup cíclic <math>\mathbf{G}</math> d'ordre <math>n</math>. Aleshores <math>g^k</math> també n'és un generador si, i només si, hi ha <math>m \in \mathbb Z</math> que fa <math>g^{km} = g</math>. Aleshores <math>km \equiv 1 \pmod{n}</math>.
Si <math>\mathbf{G}</math> és un grup cíclic d'ordre <math>n</math>, aleshores té <math>\phi(n)</math> generadors (<math>\phi</math> és la funció Fi d'Euler).
Siguin <math>\mathbf{G}_1</math> i <math>\mathbf{G}_2</math> dos grups d'ordres respectius <math>n_1</math> i <math>n_2</math>. Aleshores, <math>\mathbf{G}_1 \times \mathbf{G}_2</math> és cíclic si, i només sí, <math>\mathbf{G}_1</math> i <math>\mathbf{G}_2</math> ho són i <math>\mbox{m.c.d.}\left(n_1, n_2\right) = 1</math>.
Tot subgrup finit del grup multiplicatiu d'un cos és cíclic.

Referències

Article cyclic group a PlanetMath.org.