Grup abelià

Un grup abelià o commutatiu és un conjunt <math>G</math> amb una operació <math>+</math>, suma,

<math>+:G \times G \rightarrow G</math>

<math>(x, y) \mapsto x + y</math>

que compleix les propietats:

Associativa: Per a tot <math>a, b, c \in G</math>, <math>(a + b) + c = a + (b + c)</math>.
Commutativa: Per a tot <math>a, b \in G</math>, <math>a + b = b + a</math>.
Existeix un element neutre <math>e \in G</math> tal que <math>a + e = a</math>, per a tot <math>a \in G</math>.
Per a cada <math>a \in G</math> existeix un element invers o oposat <math>a'\in G</math> tal que <math>a + a' = 0</math>.

Si l'operació s'indica amb el símbol <math>+</math>, tal com hem fet, l'element neutre s'anomena zero, i es representa amb el símbol <math>0</math>, i l'oposat de <math>a</math> es representa escrivint <math>-a</math>. Si l'operació s'indica amb un altre símbol, l'element neutre s'acostuma a dir unitat i es representa amb el símbol <math>1</math>. Aleshores l'invers de <math>a</math> es representa escrivint <math>a^{-1}</math> o <math>1/a</math>.

Tot grup abelià finitament generat és isomorf al producte directe d'un nombre finit de grups cíclics.