Identitat

En matemàtiques, la paraula identitat té diversos significats importants:

• Una identitat és una igualtat que continua sent veritat sense importar el valor que prenguin les variables que hi surten, cal distingir-les de les igualtats les quals només són veritat en determinades condicions. Per això, de vegades es fa servir el símbol ≡ . (Tot i que això pot ser ambigu donat que és el mateix símbol que es fa servir per a les relacions de congruència.)
• En àlgebra, la identitat o l’element identitat o neutre d'un conjunt S amb una operació és un element e que operat amb qualsevol element s de S produeix altre cop s.
• La funció identitat de un conjunt S en si mateix, escrita sovint com <math>\mathrm{id}</math> o <math>\mathrm{id}_S</math>, és una funció tal que <math>\mathrm{id}(x)=x</math> per a tot x de S.
• En àlgebra lineal, la matriu identitat és una matriu quadrada que té uns a la diagonal principal i zeros a qualsevol altre lloc.

Exemples

Relació d'identitat

Un exemple habitual del primer significat és la identitat trigonomètrica

<math> \sin ^2 \theta + \cos ^2 \theta = 1\,</math>

La qual és veritat per a tots els valors reals de <math>\theta</math> (donat que els nombres reals <math>\Bbb{R}</math> són el domini de sin i cos).

En canvi en el cas de:

<math>\cos \theta = 1,\,</math>

És veritat només per alguns valors de <math>\theta</math>, no tots. Per exemple, l'última equació és veritat quan <math> \theta = 0,\,</math>, i falsa quan <math>\theta = 2\,</math>

Element identitat

El nombre 0 és l’"element identitat de la suma" pels enters, els reals, i els complexos. Pels reals, per a tot <math>a\in\Bbb{R},</math>

<math>0 + a = a,\,</math>

<math>a + 0 = a,\,</math> i

<math>0 + 0 = 0.\,</math>

De forma semblant, El nombre 1 és l"element identitat de la multiplicació" pels enters, els reals, i els complexos. Pels nombres reals, per a tot <math>a\in\Bbb{R},</math>

<math>1 \times a = a,\,</math>

<math>a \times 1 = a,\,</math> i

<math>1 \times 1 = 1.\,</math>

Funció identitat

Un exemple típic de una funció identitat és la permutació identitat, la qual envia a cada element del conjunt <math>\{ 1, 2, \ldots, n \}</math> cap a si mateix.

Comparació

Aquests significats no són mútuament excloents; per exemple, la permutació identitat és l'element identitat del conjunt de les permutacions de <math>\{ 1, 2, \ldots, n \}</math> per a l'operació de composició.