Inductància

La indutància és una mesura del flux magnètic <math>\Phi</math> al llarg d'un circuit elèctric creat per un corrent elèctric que flueix a través d'un circuit elèctric i, en conseqüència, crea un camp magnètic; en el Sistema Internacional es mesura en henrys (símbol <math>H</math>), en honor a Joseph Henry. Es pot definir com el factor de proporcionalitat entre el flux produït i la intensitat del corrent que el genera:

<math>L= \frac{\Phi}{i}</math>

on <math>L</math> és la inductància, <math>i</math> és la intensitat de corrent (en amperes) i <math>\Phi</math> és el flux de camp magnètic (en webers). S'utilitza el símbol <math>L</math> per a la inductància en honor al físic Heinrich Lenz. El mateix terme "inductància" fou establert per Oliver Heaviside el febrer del 1886. La fórmula anterior utilitzant les unitats del SI, seria:

<math>1H= \frac {1Wb}{1A}</math>

En realitat, la quantitat que acabem de definir és l'anomenada autoinductància, ja que el camp magnètic és creat només pel conductor que transporta el corrent.

D'acord amb la llei d'Ampère i la llei de Lenz, el flux de camp magnètic crea una força electromotriu induïda (<math>v_{ind}</math>) al conductor que s'oposa a qualsevol variació del corrent original, de manera que

<math>v_{ind}=-\frac{d\Phi}{dt}</math>

i substituint el flux per <math>L \times i</math>, segons la definició d'inductància que hem donat:

<math>v_{ind}=-L \frac{dI}{dt}</math>

de manera que podem considerar la inductància com el factor de proporcionalitat entre la força electromotriu induïda i la variació temporal de la intensitat.

Propietats de la inductància

L'equació que relaciona la inductància amb el flux magnètic pot ser modificada d'aquesta manera:

<math>\Phi = Li \,</math>

Prenent la derivada respecte al temps als dos costats de l'equació tindrem:

<math>\frac{d\Phi}{dt} = L \frac{di}{dt} + i \frac{dL}{dt} \,</math>

En moltes situacions la inductància és constant al llarg del temps, per tant

<math>\frac{d\Phi}{dt} = L \frac{di}{dt}</math>

Segons la llei de Faraday de la inducció tenim:

<math>\frac{d\Phi}{dt} = -\mathcal{E} = v </math>

on <math>\mathcal{E}</math> és la força electromotriu (fem) i <math>v</math> és el voltatge induït. Noteu que la fem és oposada al voltatge induït, així:

<math>\frac{di}{dt} = \frac{v}{L}</math>

o

<math>i(t) = \frac{1}{L} \int_0^tv(\tau) d\tau + i(0)</math>

Aquestes equacions juntes determinen que per a un voltatge estable induït v, en corrent canvia de manera lineal, segons una raó proporcional al voltatge aplicat, però inversament proporcional a la inductància. Inversament, si el corrent que passa a través de l'inductor canvia de manera constant, el voltatge induït serà constant.

L'efecte de la inductància pot ser estes utilitzant una simple espira de fil conductor com a exemple. Si sobtadament apliquem un voltatge al extrems de l'espira, el corrent canviarà de zero a un valor diferent de zero. Però un corrent diferent de zero induirà un camp magnètic segons la llei d'Ampère, i aquest canvi del camp magnètic induirà una fem que serà oposada a la direcció del canvi en el corrent, la magnitud d'aquesta fem serà proporcional al canvi en el corrent i a la inductància. Quan aqueste forces oposades són en equilibri, el resultat serà un corrent que s'incrementarà linealment amb el temps i on la quantitat de canvi serà determinat pel voltatge aplicat i per la inductància.

Multiplicant l'equació anterior per <math>di/dt</math>, amb <math>Li</math> tindrem

<math>Li\frac{di}{dt}=\frac{d}{dt}\frac{L}{2}i^{2}=iv</math>

Com iv és l'energia transferida al sistema a cada moment, tindrem que <math>\left( L/2 \right)i^2</math> és l'energia del camp magnètic generada pel corrent.

Anàlisi de circuits fasors i impedància

Utilitzant fasors, la impedància equivalent d'una inductància vindrà donada per:

<math>Z_L = V / I = j L \omega \, </math>

on

<math> X_L = L \omega \, </math> és la reactància inductiva,

<math> \omega = 2 \pi f \, </math> és la freqüència angular,

L és la inductància,

f és la freqüència, i

j és la unitat imaginària.

Força electromotriu induïda

El flux <math>\Phi_i\ \!</math> al través d'una part i-èsima d'un circuit vindrà donat per:

<math> \Phi_i = \sum_{j} M_{ij}I_j = L_i I_i + \sum_{j\ne i} M_{ij}I_j \,</math>

per tant la força electromotriu induïda, <math>\mathcal{E}</math>, a una part específica, i, a cada circuit donat vindrà determinada directament per:

<math>\mathcal{E} = -\frac{d\Phi_i}{dt} = -\frac{d}{dt} \left (L_i I_i + \sum_{j\ne i} M_{ij}I_j \right ) = -\left(\frac{dL_i}{dt}I_i +\frac{dI_i}{dt}L_i \right) -\sum_{j\ne i} \left (\frac{dM_{ij}}{dt}I_j + \frac{dI_j}{dt}M_{ij} \right).</math>