Lagrangià

El lagrangià (L) és un funcional de les variables dinàmiques d'un sistema físic. Rep el seu nom de Joseph Louis Lagrange que entre els anys 1772 i 1788 va reformular la mecànica newtoniana. Matemàticament es pot derivar mitjançant el principi de Hamilton que pot ser expressat breument com:

El moviment d'un sistema en un interval de temps de t₁ fins a t₂ és tal que la integral de línia <math>S = \int_{t_1}^{t_2} L dt</math> té un valor estacionari per al camí correcte.

El lagrangià L es defineix com L = T - V, on T és l'energia cinètica, V l'energia potencial i S és el que s'anomena acció. Matemàticament estacionari s'expressa com:

<math>\delta S = \delta \int_{t_1}^{t_2} L(q_1,...,q_n,\dot{q_1},...,\dot{q_n},t) dt = 0 </math>

Amb això es deriven les equacions de (Euler-)Lagrange:

<math>\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0, i = 1, 2, \ldots, n</math>

per les n coordenades generalitzades.

Per més informació, veieu l'artícle formulació lagrangiana.