Matriu d'intercanvi
En matemàtiques, especialment en àlgebra lineal, la matriu d'intercanvi és un cas especial de matriu de permutació, en què els elements 1 resideixen a la contradiagonal i tots els altres elements són zero. En altres paraules, és una versió amb les files inverses o les columnes inverses de la matriu identitat.
- <math>
J_{2}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix};\quad J_{3}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}; \quad J_{n}=\begin{pmatrix}
0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}. </math>
Definició
Si J és una matriu d'intercanvi n×n, aleshores els elements de J es defineixen de manera que:
- <math>J_{i,j} = \begin{cases}
1, & j = n - i \\ 0, & j \ne n - i \\ \end{cases}</math>
Propietats
- JT = J.
- Jn = I per n parell; Jn = J per n imparell, on n és qualsevol íntegre. Així doncs, J és una matriu involutòria; és a dir, J−1 = J.
- La traça de J és 1 si n is imparell, i 0 si n és parell.
Relacions
- Es diu que qualsevol matriu A que satisfaci la condició AJ = JA és centrosimètrica.
- Es diu que qualsevol matriu A que satisfaci la condició AJ = JAT és persimètrica.