Producte Kronecker
El producte Kronecker, denotat per ⊗ (<math>\otimes</math>) és una operació entre dues matrius d'una mida arbitrària que donen com a resultat una matriu en blocs. És un cas especial del producte tensorial. S'ha de distingir entre el producte Kronecker i la multiplicació de matrius. Són dues operacions completament diferents.
Definició
Si A és una matriu de dimensions m per n i B és un matriu de dimensions p per q, aleshores el producte Kronecker A⊗B és la matriu de blocs de dimensions mp per nq:<math>A \otimes B = (a)_{ij} \cdot B</math>
Això es correspon amb la matriu:
- <math> A \otimes B = \begin{pmatrix} a_{11} B & \cdots & a_{1n}B \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} B & \cdots & a_{mn} B \end{pmatrix}</math>
O més explícitament,
- <math>A \otimes B = \begin{pmatrix}
a_{11} b_{11} & a_{11} b_{12} & \cdots & a_{11} b_{1q} &
\cdots & \cdots & a_{1n} b_{11} & a_{1n} b_{12} & \cdots & a_{1n} b_{1q} \\
a_{11} b_{21} & a_{11} b_{22} & \cdots & a_{11} b_{2q} &
\cdots & \cdots & a_{1n} b_{21} & a_{1n} b_{22} & \cdots & a_{1n} b_{2q} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{11} b_{p1} & a_{11} b_{p2} & \cdots & a_{11} b_{pq} &
\cdots & \cdots & a_{1n} b_{p1} & a_{1n} b_{p2} & \cdots & a_{1n} b_{pq} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\
\vdots & \vdots & & \vdots & & \ddots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{m1} b_{11} & a_{m1} b_{12} & \cdots & a_{m1} b_{1q} &
\cdots & \cdots & a_{mn} b_{11} & a_{mn} b_{12} & \cdots & a_{mn} b_{1q} \\
a_{m1} b_{21} & a_{m1} b_{22} & \cdots & a_{m1} b_{2q} &
\cdots & \cdots & a_{mn} b_{21} & a_{mn} b_{22} & \cdots & a_{mn} b_{2q} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} b_{p1} & a_{m1} b_{p2} & \cdots & a_{m1} b_{pq} &
\cdots & \cdots & a_{mn} b_{p1} & a_{mn} b_{p2} & \cdots & a_{mn} b_{pq}
\end{pmatrix}</math>
Exemples
- <math>
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 2 \\
1 & 0 & 0 \\
1 & 2 & 2
\end{pmatrix}
\otimes
\begin{pmatrix}
0 & 5 \\
5 & 0 \\
1 & 1
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
1 \cdot
\begin{pmatrix}
0 & 5 \\
5 & 0 \\
1 & 1
\end{pmatrix}
& 3 \cdot \begin{pmatrix}
0 & 5 \\
5 & 0 \\
1 & 1
\end{pmatrix}
& 2 \cdot \begin{pmatrix}
0 & 5 \\
5 & 0 \\
1 & 1
\end{pmatrix}\\
1 \cdot \begin{pmatrix}
0 & 5 \\
5 & 0 \\
1 & 1
\end{pmatrix}
& 0 \cdot \begin{pmatrix}
0 & 5 \\
5 & 0 \\
1 & 1
\end{pmatrix}
& 0 \cdot \begin{pmatrix}
0 & 5 \\
5 & 0 \\
1 & 1
\end{pmatrix}\\
1 \cdot \begin{pmatrix}
0 & 5 \\
5 & 0 \\
1 & 1
\end{pmatrix}
& 2 \cdot \begin{pmatrix}
0 & 5 \\
5 & 0 \\
1 & 1
\end{pmatrix}
& 2 \cdot \begin{pmatrix}
0 & 5 \\
5 & 0 \\
1 & 1
\end{pmatrix}
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
0 & 5 & 0 & 15 &0 & 10 \\
5 & 0 &15 & 0 &10 & 0 \\
1 & 1 & 3 & 3&2 & 2\\
0 & 5& 0 & 0 &0 & 0 \\
5 & 0 &0 & 0 &0 & 0 \\
1 & 1&0 & 0& 0 & 0\\
0 & 5 &0 & 10 & 0 & 10 \\
5 & 0 &10 & 0 &10 & 0 \\
1 & 1&2 & 2&2 & 2
\end{pmatrix}
</math>
Propietats
Bilinealitat i associativitat
El producte Kronecker és un cas especial del producte tensorial, i, per tant, és bilineal i associatiu:
- <math> A \otimes (B+C) = A \otimes B + A \otimes C</math> si B i C tenen les mateixes dimensions,
- <math> (A+B) \otimes C = A \otimes C + B \otimes C</math> si A i B tenen les mateixes dimensions,
- <math> (kA) \otimes B = A \otimes (kB) = k(A \otimes B), </math>
- <math> (A \otimes B) \otimes C = A \otimes (B \otimes C), </math>
on A, B i C són matrius i on k és un escalar.
El producte Kronecker no és commutatiu: Això és, en general, A⊗B i B⊗A són matrius diferents. Tanmateix, A⊗B i B⊗A són permutacions equivalents. Això és, que hi ha unes matrius de permutació P i Q tals que <math> A \otimes B = P \, (B \otimes A) \, Q. </math>