Quadrat perfecte
En matemàtiques, un enter n és un quadrat perfecte (també es diu un quadrat si no hi ha risc d'ambigüitat) si existeix un enter k tal que <math>n = k^2</math>; en altres paraules, un quadrat perfecte és el quadrat d'un enter. Per exemple, els enters 0, 1, 4 o 49 són quadrats perfectes.
En el sistema de numeració decimal, la xifra de les unitats d'un quadrat perfecte només pot ser 0, 1, 4, 5, 6 o 9. En base dotze, seria obligatòriament 0, 1, 4 o 9.
Els matemàtics s'han interessat sovint per certes curiositats en relació amb els quadrats perfectes. La més coneguda, sobretot per a la seva referència al teorema de Pitàgores, és la igualtat <math>3^2+4^2=5^2</math>, que enceta l'estudi dels terns pitagòrics.
A partir de 1995, se sap segur gràcies a la demostració de l'últim teorema de Fermat que només els quadrats poden formar identitats com la de les ternes pitagòriques. En efecte, no hi ha cap solució a <math>a^3 + b^3 = c^3</math>amb a,b i c enters, ni a <math>a^d + b^d= c^d</math> amb a, b, c i d enters i d més gran que 2.
La suma dels primers quadrats perfectes ve donada per la següent fórmula:
- <math>\sum_{0 \le p \le n}p^2=0^2+1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2 = {n (n+1) (2n+1)\over 6}</math>
Llista dels 10 primers quadrats perfectes
| Potències | Resultats |
|---|---|
| 0² | 0 |
| 1² | 1 |
| 2² | 4 |
| 3² | 9 |
| 4² | 16 |
| 5² | 25 |
| 6² | 36 |
| 7² | 49 |
| 8² | 64 |
| 9² | 81 |
Vegeu també
Enllaços externs
- (francès) Dues nocions connexes