Reducció d'ordre

En matemàtiques, la reducció d'ordre és una tècnica utilitzada per resoldre equacions diferencials ordinàries de segon ordre. Es fa servir quan la primera de dues solucions (<math>y_1</math>) és coneguda i es busca la segona (<math>y_2</math>).

Ús

Donada una equació diferencial

i una sola solució (<math>y_1(t)</math>), i sigui la segona solució definida per

on <math>v(t)</math> és una funció arbitrària. Així,

i

Si se substitueixen per <math>y</math>, <math>y'</math>, i <math>y</math> a l'equació diferencial, llavors

Com que <math>y_1(t)</math> és solució de l'equació diferencial original, <math>y_1(t)+p(t)y_1'(t)+q(t)y_1(t)=0</math>, es pot reduir a

que és una equació diferencial de primer ordre per <math>v'(t)</math>. Dividint per <math>y_1(t)</math>, s'obté

<math>v+\left(\frac{2y_1'(t)}{y_1(t)}+p(t)\right)\,v'=0</math>

i <math>v'(t)</math> es pot trobar fent servir el mètode general. Un cop s'ha trobat <math>v'(t)</math>, s'integra i se substitueix a l'equació original per <math>y_2</math>:

Referències

(anglès) W. E. Boyce and R. C. DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (8th edition), John Wiley & Sons, Inc., 2005. ISBN 0-471-43338-1.
(anglès) Eric W. Weisstein, Second-Order Ordinary Differential Equation Second Solution, From MathWorld--A Wolfram Web Resource.