Regla del quocient

A càlcul, la regla del quocient és un mètode per a calcular la derivada de una funció que consisteix en el quocient de altres dues per a les quals la derivada existeix.

Si la funció que es vol derivar, <math>f(x)</math>, es pot escriure com

i <math>h(x)</math> ≠ <math>0</math>, llavors la regla diu que la derivada de <math>g(x)/h(x)</math> és igual a:

O de forma més precisa, per a tot <math>x</math> que pertany a algun conjunt obert que conté el nombre <math>a</math>, amb <math>h(a)</math> ≠ <math>0</math>; i, tal que <math>g'(a)</math> i <math>h'(a)</math> existeixen totes dues; llavors, <math>f'(a)</math> també existeix:

Exemples

La derivada de <math>(4x - 2)/(x^2 + 1)</math> és

<math>\frac{d}{dx} \frac{(4x - 2)}{x^2 + 1}</math>	<math>=\frac{(x^2 + 1)(4) - (4x - 2)(2x)}{(x^2 + 1)^2}</math>
	<math>=\frac{(4x^2 + 4) - (8x^2 - 4x)}{(x^2 + 1)^2}</math>
	<math>=\frac{-4x^2 + 4x + 4}{(x^2 + 1)^2}</math>

A l'exeple de dalt, s'ha triat:

De forma anàloga, la derivada de <math>\sin(x)/x^2</math> (quan <math>x</math> ≠ 0) és:

<math>

\frac{\cos(x) x^2 - \sin(x)2x}{x^4} </math>

Per a més informació referent a les derivades de les funcions trigonomètriques vegeu: derivada.

Un altre exemple és:

on <math>g(x) = 2x^2</math> i <math>h(x) = x^3</math>, i <math>g'(x) = 4x</math> i <math>h'(x) = 3x^2</math>.

La derivada de <math>f(x)</math> es determina tal com segueix:

<math>f'(x)\,</math>	<math>=\frac {\left(4x \cdot x^3 \right) - \left(2x^2 \cdot 3x^2 \right)} {\left(x^3\right)^2}</math>
	<math>=\frac{4x^4 - 6x^4}{x^6}</math>
	<math>=\frac{-2x^4}{x^6}</math>
	<math>=-\frac{2}{x^2}</math>

Demostracions

A partir de la definició de derivada

Suposant que <math>f(x) = g(x)/h(x)</math>

on <math>h(x)</math>≠ 0 i <math>g</math> i <math>h</math> són derivables.

<math>f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{g(x + \Delta x)}{h(x + \Delta x)} - \frac{g(x)}{h(x)}}{\Delta x}</math>

<math>= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x+\Delta x)}{h(x)h(x+\Delta x)} \right)</math>

<math>= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{(g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x))-(g(x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x))}{h(x)h(x+\Delta x)} \right)</math>

<math>= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{h(x)(g(x+\Delta x)-g(x))-g(x)(h(x+\Delta x)-h(x))}{h(x)h(x+\Delta x)} \right)</math>

<math>= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}h(x)-g(x)\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}{h(x)h(x+\Delta x)}</math>

<math>= \frac{\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\right)h(x) - g(x) \lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}\right)}{h(x)h(\lim_{\Delta x \to 0} (x+\Delta x))}</math>

A partir de la regla del producte

Suposant que <math>f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}</math>

La resta consisteix en aplicar les regles del àlgebra per a fer que <math>f'(x)</math> sigui l'únic terme del cantó esquerra de l'equació i per a eliminar <math>f(x)</math> del cantó dret de l'equació.

<math>f'(x)=\frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{\left(h(x)\right)^2}</math>

De forma alternativa, es pot aplicar la regla del producte directament, sense haver de fer ús de la substitució:

I tot seguit aplicar la regla de la cadena per a derivar <math>h(x)^{-1}</math>:

A partir de la regla de la cadena

Es considera la identitat

<math> \frac{u}{v}\; =\; \frac{1}{4}\left[ \left( u+\frac{1}{v} \right)^{2}-\; \left( u-\frac{1}{v} \right)^{2} \right]</math>

Llavors

<math>\frac{d\left( \frac{u}{v} \right)}{dx}\; =\; \frac{d}{dx}\frac{1}{4}\left[ \left( u+\frac{1}{v} \right)^{2}-\; \left( u-\frac{1}{v} \right)^{2} \right]</math>

Porta a

<math>\frac{d\left( \frac{u}{v} \right)}{dx}\; =\; \frac{1}{4}\left[ 2\left( u+\frac{1}{v} \right)\left( \frac{du}{dx}-\frac{dv}{v^{2}dx} \right)-\; 2\left( u-\frac{1}{v} \right)\left( \frac{du}{dx}+\frac{dv}{v^{2}dx} \right) \right]</math>

Operant s'obté

<math>\frac{d\left( \frac{u}{v} \right)}{dx}\; =\; \frac{1}{4}\left[ \frac{4}{v}\frac{du}{dx}-\frac{4u}{v^{2}}\frac{dv}{dx} \right]</math>

Per acabar, es treu comú denominador i en queda el resultat esperat

<math>\frac{d\left( \frac{u}{v} \right)}{dx}\; =\; \frac{\left[ v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx} \right]}{v^{2}}</math>

Emprant diferencials totals

Una demostració fins i tot més elegant és conseqüència de la llei referent als diferencials totals, que diu que el diferencial total,

<math>dF = \frac{\partial F}{\partial x} dx + \frac{\partial F}{\partial y} dy + \frac{\partial F}{\partial z} dz + ...</math>

De qualsevol funció a qualsevol conjunt de quantitats es pot descompondre de la següent forma, sense importat quines variables independents hi hagi a la funció (és a dir no importa quines variables es prenguin ja que no poden expressar-se com a funcions de altres variables). Això vol dir que, si N i D són totes dues funcions de una variable independent x, i <math>F = N(x)/D(x)</math>, llavors han de ser veritat simultàniament que

(*) <math>dF = \frac{\partial F}{\partial x}dx</math>

I que

<math>dF = \frac{\partial F}{\partial N}dN + \frac{\partial F}{\partial D}dD</math>.

Però sabent que <math>dN = N'(x) dx</math> i <math>dD = D'(x) dx</math>.

Substituint i fent aquest dos diferencials totals iguals a un tercer (donat que representen límits que es poden manipular), s'obté l'equació

<math>\frac{\partial F}{\partial x} dx = \frac{\partial F}{\partial N}N'(x) dx + \frac{\partial F}{\partial D}D'(x) dx</math>

La qual requereix que

(#) <math>\frac{\partial F}{\partial x} = \frac{\partial F}{\partial N}N'(x) + \frac{\partial F}{\partial D}D'(x)</math>.

Calculant les parcials de la dreta:

<math>\frac{\partial F}{\partial N} = \frac{\partial (N/D)}{\partial N} = \frac{1}{D}</math>;

<math>\frac{\partial F}{\partial D} = \frac{\partial (N/D)}{\partial D} = -\frac{N}{D^2}</math>.

Si se substitueixen dins de (#),

<math>\frac{\partial F}{\partial x} = \frac{N'(x)}{D(x)} - \frac{N(x) D'(x)}{D(x)^2}</math>

<math>\frac{\partial F}{\partial x} = \frac{D(x)N'(x)}{D(x)^2} - \frac{N(x) D'(x)}{D(x)^2}</math>

La qual dona la regla del quocient, donat que, per a (*),

<math>\frac{dF}{dx} = \frac{\partial F}{\partial x}</math>.

Aquesta demostració és forma més sistemàtica de demostrar el teorema en termes de límits, i per tant, és equivalent a la primera demostració – i fins i tot es redueix a ella si es fan les substitucions adequades als llocs adequats.

Vegeu també