Resurgència

En A.Hurwitz va plantejar, en el seu quadern, a la data del 6 de desembre 1918, la demanda si fou possible que una sèrie de potències

<math> h(\xi)=\sum_{k=0}^{\infty}a_k(\xi-\xi_0)^k, </math>

representant una funció diferent de <math> \xi\mapsto ce^{\xi} </math>, admetés continuació analítica al llarg d'un camí tancat <math>\gamma</math> al voltant de <math> \xi_0 </math> i, a la fi de la continuació, prengués la forma

<math> \sum_{k=1}^{\infty}k a_k(\xi-\xi_0) ^{k-1}=h^{\prime}(\xi), </math> és a dir, es pot continuar analíticament una funció holomorfa cap a la seva derivada?

La solució de Lewy

En H.Lewy va respondre afirmativament, i va donar una solució del problema que presentem aquí en una forma lleugerament modificada (vegeu A.Naftalevich: On a differential-difference equation, The Michigan Mathematical Journal, 22 (1975)).

Es consideri la funció: <math> h(z)=\int_{\mathbb R^+}

\exp

\left[ -zt-(\log t)^2/4\pi i \right]\, dt; </math> <math> h </math> és holomorfa per <math>\Re(z)>0 </math> i pot ser continuada analíticament als semiplans <math>\Re(z e^{- i\vartheta})>0\ (\vartheta \in\mathbb R^+)</math>, de la manera següent: sigui <math> N\in\mathbb N </math> tal que <math>0<\vartheta/N<\pi/2 </math> i fem <math>\eta:= \vartheta/N </math>.

Escrivem, per a <math> z\in \{\Re(z e^{- i\eta})>0\}\bigcup \{\Re(z)>0\} </math>,

<math>

h(z)=\int_{\mathbb R^+}\exp\left[z e^{- i\eta} e^{i\eta} t- \frac{\log( e^{- i\eta} e^{i\eta} t)^2}{4\pi i } \right] \, dt </math>

<math>

=\int_{e^{i\eta}\mathbb R^+} \exp \left[-ze^{- i\eta} u- \displaystyle \frac{(\log(u)-i\eta)^2}{4\pi i } \right] e^{- i\eta} \, du </math>

<math>

=\lim_{R \to\infty} \left\{ \int_0^{R} \exp \left[-ze^{- i\eta} u- \displaystyle \frac{(\log(u)-i\eta)^2}{4\pi i } \right] e^{- i\eta} \, du+\right. </math>

<math>

\ \qquad \left. + \int_{\gamma_R} \exp \left[-ze^{- i\eta} u- \displaystyle \frac{(\log(u)-i\eta)^2}{4\pi i } \right] e^{- i\eta} \, du\right\}. </math>

Aquesta darrera integral, que anominem <math> I_2 </math>, ha de ser calculada sobre la corba <math>\gamma_R: [0,1]\rightarrow\mathbb C</math> definida en posar <math> \gamma (t):= Re^{i\theta} </math>.

Hom ha <math> I_2\leq C_1 R^{\alpha}e^{-C_2R} </math> per a unes constantes reals positives <math>C_1</math>, <math> {C_2} </math> i <math>{\alpha} </math>, car <math> I_2 </math> tendeix a <math> 0 </math> quan <math> R\to\infty</math>.

Així per a <math> z\in \{\Re(z e^{- i\eta})>0 \}\bigcap \{\Re(z)>0 \} </math> hom ha <math> h(z)= \int_{\mathbb R^+} \exp \left[-ze^{- i\eta} u-\frac{(\log(u)-i\eta)^2}{4\pi i } \right] e^{- i\eta} \, du; </math> però aquesta darrera integral convergeix en <math>\Re(z e^{- i\eta})>0</math> i doncs hi defineix una continuació analítica de <math> h </math>. Repetem el procediment <math> N </math> vegades: això ens dona finalment una continuació analítica de <math> h </math> al semiplà <math>\Re(z e^{- i\vartheta})>0</math>; doncs <math> h </math> pot ser continuada analíticament a tot punt <math>p\in\mathbb C\setminus\{0 \} </math>.

Finalment, si fem la continuació analítica al llarg del camí <math> \vert z\vert=1, 0\leq\arg(z)\leq 2\pi </math>, obtenim, designant <math>\hat h </math> l'element de funció holomorfa obtingut (en un entorn de <math> z=1 </math>) després una volta completa, <math> \hat h(z) = \int_{\mathbb R^+} \exp \left[-e^{2\pi i}z t-(\log t+2\pi i)^2/4\pi i \right]\, dt= </math>

<math> = \int_{\mathbb R^+}

\exp

\left[-zt- \displaystyle \frac{(\log t)^2-4\pi ^2+4\pi i\log t}{4\pi i }

\right]\, dt=

</math>

<math> =\int_{\mathbb R^+} \exp \left[ \displaystyle -zt -e^{2\pi i} t-(\log t)^2/4\pi i - \pi i+ \log t

\right]\, dt=

</math>

<math> = \int_{\mathbb R^+} (-t) \exp \left[-zt-(\log t)^2/4\pi i \right]\, dt= h^{\prime}(z). </math>

Això acaba la presentació de la solució d'aquest problema.