Revestiment topològic

Siguin <math> X </math> i <math> Y </math> dos espais topològics: una aplicació contínua surjectiva <math>p:Y\rightarrow X</math> és un revestiment topològic si cada punt <math>x\in X</math> té un entorn obert <math> {\mathcal U} </math> tal que la restricció de <math>p</math> a cada component connexa <math> {\mathcal V}_e </math> de <math>p^{-1}({\mathcal U} )</math> és un homeomorfisme de <math> {\mathcal V}_e </math> sobre <math>{\mathcal U}</math>.

Recordem que una aplicació contínua <math>p:Y\rightarrow X</math> té la propietat de l'elevament de les corbes si, per a cada corba <math>\gamma:[0,1]\rightarrow X</math> e cada <math>y\in p^{-1}(\gamma(0)) </math> existeix una corba <math>\tilde \gamma:[0,1]\rightarrow Y </math> tal que <math>p\circ\tilde\gamma= \gamma</math> e <math>\tilde \gamma(0)=y</math>.

El resultat següent és estàndard: (vegeu per exemple KLA, secció 9.3): Un homeomorfisme local surjectiu entre dos espais topològics és un revestiment topològic si i només si té la propietat de l'elevament de les corbes.

Referències

KLA: Klaus Jänich: Topology, Springer Verlag, 1994.