Petit rombi-cosidodecàedre
| Petit rombicosidodecàedre | |
| Tipus | Políedre arquimedià |
|---|---|
| Cares | Triangles i pentàgons |
| Elements : · Cares · Arestes · Vèrtex · Característica |
62 (20 triangles, 12 pentagons i 30 quadrats) 120 60 2 |
| Cares per vèrtex | 4 |
| Vèrtex per cara | 3, 5 i 4 |
| Simetries | Ih |
| Dual | Hexacontàedre pentagonal |
| Propietats | Semi-regular i convex |
En geometria, el petit rombicosidodecàedre (o només rombicosidodecàedre) és un dels tretze políedres arquimedians.
Té 62 cares, 12 de les quals són pentagonals, 20 triangulars i 30 quadrades, 120 arestes i a cadascun dels seus 60 vèrtex i concorren una cara pentagonals una triangular i dues quadrades.
Àrea i volum
Les fórmules per calcular l'àrea A i el volum V d'un petit rombicosidodecàedre tal que les seves arestes tenen longitud a són les següents:
- <math>A=\left(30+\sqrt{30\left(10+3\sqrt{5}+\sqrt{15(5+2\sqrt{5})}\right)}\right)a^2</math>
- <math>V=\left(20+\begin{matrix}{29\over3}\end{matrix}\sqrt{5}\right)a^3</math>
Esferes circumscrita, inscrita i tangent a les arestes
Els radis R, r i <math>\rho </math> de les esferes circumscrita, inscrita i tangent a les arestes respectivament són:
- <math>\begin{align}
& R=\frac{a\sqrt{11+4\sqrt{5}}}{2} \\
& r=\frac{a\left( 15+2\sqrt{5} \right)\sqrt{11+4\sqrt{5}}}{41} \\
& \rho =\frac{a\sqrt{10+4\sqrt{5}}}{2} \\
\end{align}</math>
On a és la longitud de les arestes.
Dualitat
El políedre dual del petit rombicosidodecàedre és el hexacontàedre pentagonal.
Desenvolupament pla
Simetries
El grup de simetria del petit rombicosidodecàedre té 120 elements; el grup de les simetries que preserven les orientacions és el grup icosàedric <math> I \cong A_5 </math>. Son els mateixos grups de simetria que per l'icosàedre i pel dodecàedre.
Políedres relacionats
El petit rombicodidodecàedre es pot obtindre tant del icosàedre com de l'octàedre a base d'expandir-los allunyant les deves cares del centre i creant noves cares per a cada aresta i vèrtex originals.
També es pot obtenir truncant al mateix temps tant els vèrtex com les arestes de l'icosàedre o del dodecàedre.
Les vint cares triangulars i les dotze cares pentagonals del petit rombicosidodecàedre descansen sobre els plans de les cares d'un icosàedre i d'un dodecàedre respectivament. Les trenta cares quadrades, en canvi descansen sobre els mateixos plans que les cares d'un traiacontàedre ròmbic, el políedre dual de l'icosidodecàedre.
-
dodecàedre
-
petit rombicosidodecàedre
-
icosàedre
Vegeu també
Bibliografia
- H. M. Cundy & A. P. Rollett. I modelli matematici. Milà: Feltrinelli, 1974.
- Dedò, Maria. Forme, simmetria e topologia. Bolonya: Decibel & Zanichelli, 1999. ISBN 88-08-09615-7.