Políedre de Johnson

La girobicúpula octogonal allargada (J37), és un sòlid de Johnson.

Aquest cub compost de 24 cares quadrades no és un sòlid de Johnson perquè no és estrictament convex (té angles diedres iguals a zero.

Aquest exemple a 24 triangles no és un sòlid de Johnson perquè és còncau.

En geometria, un sòlid de Johnson és un políedre estrictament convex tal que totes les seves cares són polígons regulars però que no és ni un sòlid platònic, ni un sòlid arquimedià, ni un prisma ni un antiprisma. No cal que cada cara sigui un polígon idèntic, o que els mateixos polígons es trobin al voltant de cada vèrtex. Un exemple de sòlid de Johnson és la piràmide de base quadrada amb costats triangulars equilàters (J1); té una cara quadrada i quatre cares triangulars.

Com que és un sòlid estrictament convex pel capbaix tres cares s'han de trobar a cada vèrtex i la suma dels seus angles ha de ser menor que 360 graus. Ja que tot polígon regular té angles superiors o iguals a 60 graus (cas del triangle equilàter es 60 graus i tots els altres és més), se'n dedueix que cinc cares el màxim que es poden trobar en un vèrtex qualsevol. La piràmide pentagonal (J₂) és un exemple que té un vèrtex de grau 5.

Encara que no existeixi restricció evident per que un polígon regular qualsevol pugui ser una cara d'un sòlid de Johnson, es trova que les cares dels sòlids de Johnson tenen sempre 3, 4, 5, 6, 8 o 10 costats. És a dir no hi ha cap sòlid de Jonson que tingui una cara que sigui un polígon ni de 7 ni de 9 ni de més de 10 costats.

El 1966, Norman Johnson va publicar una llista que incloïa els 92 sòlids, i els va donar els seus noms i els seus nombres. No va demostrar que no n'existia més que 92, però va conjecturar que no n'hi havia d'altres. Victor Zalgaller el 1969 va demostrat que la llista de Johnson era completa. S'utilitzen els noms i l'ordre donats per Johnson, i se'ls anota J_xx on xx és el nombre donat per Johnson.

Dels sòlids de Johnson, la girobicúpula quadrada allargada (J₃₇) és l'únic que és de vèrtexs uniformes: incideixen quatre cares a cada vèrtex, i el seu arranjament és sempre el mateix: tres quadrats i un triangle.

Noms

Els noms es llisten davall i són força descriptius. Molts d'aquests sòlids es poden construir afegint piràmides, cúpules i rotondes sobre cares de sòlids platònics, sòlids arquimedians, de prismes o d'antiprismes.

• El prefix Bi- vol dir que s'ajunten base sobre base dues còpies del sòlid en qüestió. Per a les cúpules i les rotondes, es poden ajuntar de forma que les cares es trobin (orto-) o no (giro-). En aquesta nomenclatura, un octàedre s'anomenaria una bipiràmide quadrada, un cuboctaèdre s'anomenaria una girobicúpula hexagonal i un icosidodécaèdre una girobirotonda decagonal.

• Allargat vol dir que s'ha ajuntat un prisma a la base del sòlid en qüestió o entre les bases dels sòlids en qüestió. Un rombicuboctàedre s'anomenaria una ortobicúpula octogonal allargada.
• Giroallargat significa que s'ha ajuntat un antiprisma a la base del sòlid en qüestió o entre les bases dels sòlids en qüestió. Un icosàedre s'anomenaria una bipiràmide pentagonal giroallargada.

• Augmentat significa que s'ha ajuntat una piràmide o una cúpula a una cara del sòlid en qüestió.
• Disminuït significa que s'ha tret una piràmide o una cúpula del sòlid en qüestió.

• Gir significa que una cúpula sobre el sòlid en qüestió ha sofert una rotació tal que les diferents arestes coincideixen, com per a la diferència entre orto i giro bicúpules.

Les tres últimes operacions - augment, disminució i gir - es poden executar més d'una vegada sobre un sòlid prou gran. S'afegeix bi- al nom de l'operació per indicar que s'ha executat dues vegades. (Un sòlid bigirat té dues de les seves cúpules que han experimentat una rotació). S'afegeix tri- per indicar que s'ha executat tres vegades. (Un sòlid tridisminuit té tres de les seves piràmides o cúpules eliminades).

A vegades, bi- tot sol no és prou precís. S'ha de distingir entre un sòlid que té dues cares paral·leles alterades i un que té dues cares obliqües alterades. Quan les dues cares alterades són paral·leles, s'afegeix para- al nom de l'operació. (Un sòlid parabiaugmentat té dues cares paral·leles augmentades). Quan no ho són, s'afegeix meta- al nom de l'operació. (Un sòlid metabiaugmentat té dues cares obliqües augmentades).

Llista i noms dels políedres de Johnson

A les taules es fan servir les següents abreviatures:

V : nombre de vèrtexs,
A : nombre d'arestes,
C : nombre total de cares, on:
C₃ triangles,
C₄ quadrats,
C₅ Pentàgons,
C₆ hexàgons,
C₈ octògons,
C₁₀ decàgons.

Prismatoides i rotondes

Els poden classificar en:

• piràmides
• cúpules
• rotondes

Jn	Nom	Desenvolupament	Imatge	V	A	C	C3	C4	C5	C6	C8	C10	Simetria
1	Piràmide quadrada			5	8	5	4	1					C4v
2	Piràmide pentagonal			6	10	6	5		1				C5v
3	Cúpula triangular			9	15	8	4	3		1			C3v
4	Cúpula quadrada			12	20	10	4	5			1		C4v
5	Cúpula pentagonal			15	25	12	5	5	1			1	C5v
6	Rotonda pentagonal			20	35	17	10		6			1	C5v

Piràmides modificades i bipiràmides

Es poden classificar en:

• piràmides allargades
• piràmide giroallargades
• bipiràmides
• bipiràmides allargades
• bipiràmides giroallargades

Jn	Nom	Desenvolupament	Imatge	V	A	C	C3	C4	C5	C6	C8	C10	Simetria
7	Piràmide triangular allargada			7	12	7	4	3					C3v
8	Piràmide quadrada allargada o (cub augmentat) o (prisma quadrat augmentat)			9	16	9	4	5					C4v
9	Piràmide pentagonal allargada			11	20	11	5	5	1				C5v
10	Piràmide quadrada giroallargada			9	20	13	12	1					C4v
11	Piràmide pentagonal giroallargada o (icosàedre disminuït)			11	25	16	15		1				C5v
12	Bipriàmide triangular			5	9	6	6						D3h
13	Bipiràmide pentagonal			7	15	10	10						D5h
14	Bipiràmide triangular allargada			8	15	9	6	3					D3h
15	Bipiràmide quadrada allargada o (biaugmentat cub) o (biaugmentat prisma quadrat)			10	20	12	8	4					D4h
16	Bipiràmide pentagonal allargada			12	25	15	10	5					D5h
17	Bipiràmide quadrada giroallargada			10	24	16	16						D4d

Cúpules i rotondes modificades

Es poden classificar en:

• cúpules allargades
• rotondes allargades
• birotondes allargades
• coupolo-rotondes allargades
• bicúpules allargades
• cúpules giroallargades
• rotondes giroallargades
• bicúpules
• birotondes
• coupulo-rotondes
• bicúpules giroallargades
• birotondes giroallargades
• coupolo-rotondes giroallargades

Jn	Nom	Desenvolupament	Imatge	V	A	C	C3	C4	C5	C6	C8	C10	Simetria
18	Cúpula triangular allargada		Error creant la miniatura:	15	27	14	4	9		1			C3v
19	Cúpula quadrada allargada (rombicudodecàedre disminuït)	Fitxer:Johnson solid 19 net.png	Fitxer:Elongated square cupola.png	20	36	18	4	13			1		C4v
20	Cúpula pentagonal allargada	Fitxer:Johnson solid 20 net.png	Fitxer:Elongated pentagonal cupola.svg	25	45	22	5	15	1			1	C5v
21	Rotonda pentagonal allargada	Fitxer:Johnson solid 21 net.png	Fitxer:Elongated pentagonal rotunda.png	30	55	27	10	10	6			1	C5v
22	Cúpula triangular giroallargada	Fitxer:Johnson solid 22 net.png	Fitxer:Gyroelongated triangular cupola.png	15	33	20	16	3		1			C3v
23	Cúpula quadrada giroallargada	Fitxer:Johnson solid 23 net.png	Fitxer:Gyroelongated square cupola.png	20	44	26	20	5			1		C4v
24	Cúpula pentagonal giroallargada	Fitxer:Johnson solid 24 net.png	Fitxer:Gyroelongated pentagonal cupola.png	25	55	32	25	5	1			1	C5v
25	Rotonda pentagonal giroallargada	Fitxer:Johnson solid 25 net.png	Fitxer:Gyroelongated pentagonal rotunda.png	30	65	37	30		6			1	C5v
26	Girobiprisma triangular	Fitxer:Johnson solid 26 net.png	Fitxer:Gyrobifastigium.png	8	14	8	4	4					D2d
27	Ortobicúpula triangular (cubooctàedre girat)	Fitxer:Johnson solid 27 net.png	Fitxer:Triangular orthobicupola.png	12	24	14	8	6					D3h
28	Ortobicúpula quadrada	Fitxer:Johnson solid 28 net.png	Fitxer:Square orthobicupola.png	16	32	18	8	10					D4h
29	Girobicúpula quadrada	Fitxer:Johnson solid 29 net.png	Fitxer:Square gyrobicupola.png	16	32	18	8	10					D4d
30	Ortobicúpula pentagonal	Fitxer:Johnson solid 30 net.png	Fitxer:Pentagonal orthobicupola.png	20	40	22	10	10	2				D5h
31	Girobicúpula pentagonal	Fitxer:Johnson solid 31 net.png	Fitxer:Pentagonal gyrobicupola.png	20	40	22	10	10	2				D5d
32	Ortocupulorotonda pentagonal	Fitxer:Johnson solid 32 net.png	Fitxer:Pentagonal orthocupolarotunda.png	25	50	27	15	5	7				C5v
33	Girocupulorotonda pentagonal	Fitxer:Johnson solid 33 net.png	Fitxer:Pentagonal gyrocupolarotunda.png	25	50	27	15	5	7				C5v
34	Ortobirotonda pentagonal (icosidodecàedre girat)	Fitxer:Johnson solid 34 net.png	Fitxer:Pentagonal orthobirotunda.png	30	60	32	20		12				D5h
35	Ortobicúpula triangular allargada	Fitxer:Johnson solid 35 net.png	Fitxer:Elongated triangular orthobicupola.png	18	36	20	8	12					D3h
36	Girobicúpula triangular allargada	Fitxer:Johnson solid 36 net.png	Fitxer:Elongated triangular gyrobicupola.png	18	36	20	8	12					D3d
37	Girobicúpula quadrada allargada (rombicudodecàedre girat)	Fitxer:Johnson solid 37 net.png	Error creant la miniatura:	24	48	26	8	18					D4d
38	Ortobicúpula pentagonal allargada	Fitxer:Johnson solid 38 net.png	Fitxer:Elongated pentagonal orthobicupola.png	30	60	32	10	20	2				D5h
39	Girobicúplula pentagonal allargada	Fitxer:Johnson solid 39 net.png	Fitxer:Elongated pentagonal gyrobicupola.png	30	60	32	10	20	2				D5d
40	Ortocúpulorotonda pentagonal allargada	Fitxer:Johnson solid 40 net.png	Fitxer:Elongated pentagonal orthocupolarotunda.png	35	70	37	15	15	7				C5v
41	Girocúpulorotonda pentagonal allargada	Fitxer:Johnson solid 41 net.png	Fitxer:Elongated pentagonal gyrocupolarotunda.png	35	70	37	15	15	7				C5v
42	Ortobirotonda pentagonal allargada	Fitxer:Johnson solid 42 net.png	Fitxer:Elongated pentagonal orthobirotunda.png	40	80	42	20	10	12				D5h
43	Girobirotonda pentagonal allargada	Fitxer:Johnson solid 43 net.png	Fitxer:Elongated pentagonal gyrobirotunda.png	40	80	42	20	10	12				D5d
44	Bicúpula triangular giroallargada (2 formes quirals)	Fitxer:Johnson solid 44 net.png	Fitxer:Gyroelongated triangular bicupola.png	18	42	26	20	6					D3
45	Bicúpula quadrada giroallargada (2 formes quirals)	Fitxer:Johnson solid 45 net.png	Fitxer:Gyroelongated square bicupola.png	24	56	34	24	10					D4
46	Bicúpula pentagonal giroallargada (2 formes quirals)	Fitxer:Johnson solid 46 net.png	Fitxer:Gyroelongated pentagonal bicupola.png	30	70	42	30	10	2				D5
47	Cúpulorotonda pentagonal giroallargada (2 formes quirals)	Fitxer:Johnson solid 47 net.png	Fitxer:Gyroelongated pentagonal cupolarotunda.png	35	80	47	35	5	7				C5
48	Birotonda pentagonal giroallargada (2 formes quirals)	Fitxer:Johnson solid 48 net.png	Fitxer:Gyroelongated pentagonal birotunda.png	40	90	52	40		12				D5

Prismes augmentats

Jn	Nom	Desenvolupament	Imatge	V	A	C	C3	C4	C5	C6	C8	C10	Symmetry
49	Prisma triangular augmentat	Fitxer:Johnson solid 49 net.png	Fitxer:Augmented triangular prism.png	7	13	8	6	2					C2v
50	Prisma triangular biaugmentat	Fitxer:Johnson solid 50 net.png	Fitxer:Biaugmented triangular prism.png	8	17	11	10	1					C2v
51	Prisma triangular triaugmentat	Fitxer:Johnson solid 51 net.png	Fitxer:Triaugmented triangular prism.png	9	21	14	14						D3h
52	Prisma pentagonal augmentat	Fitxer:Johnson solid 52 net.png	Fitxer:Augmented pentagonal prism.png	11	19	10	4	4	2				C2v
53	Prisma pentagonal biaugmantat	Fitxer:Johnson solid 53 net.png	Fitxer:Biaugmented pentagonal prism.png	12	23	13	8	3	2				C2v
54	Prisma hexagonal augmentat	Fitxer:Johnson solid 54 net.png	Fitxer:Augmented hexagonal prism.png	13	22	11	4	5		2			C2v
55	Prisma hexagonal parabiaugmentat	Fitxer:Johnson solid 55 net.png	Fitxer:Parabiaugmented hexagonal prism.png	14	26	14	8	4		2			D2h
56	Prisma hexagonal metabiaugmantat	Fitxer:Johnson solid 56 net.png	Fitxer:Metabiaugmented hexagonal prism.png	14	26	14	8	4		2			C2v
57	Prisma hexagonal triaugmentat	Fitxer:Johnson solid 57 net.png	Fitxer:Triaugmented hexagonal prism.png	15	30	17	12	3		2			D3h

Sòlids platònics modificats

• Dodecàedres augmentats
• Icosàedres disminuïts

Jn	Nom	Desenvolupament	Imatge	V	A	C	C3	C4	C5	C6	C8	C10	Simetria
58	Dodecàedre augmentat	Fitxer:Johnson solid 58 net.png	Fitxer:Augmented dodecahedron.png	21	35	16	5		11				C5v
59	Dodecàedre parabiaugmentat	Fitxer:Johnson solid 59 net.png	Fitxer:Parabiaugmented dodecahedron.png	22	40	20	10		10				D5d
60	Dodecàedre metabiaugmentat	Fitxer:Johnson solid 60 net.png	Fitxer:Metabiaugmented dodecahedron.png	22	40	20	10		10				C2v
61	Dodecàedre triaugmentat	Fitxer:Johnson solid 61 net.png	Fitxer:Triaugmented dodecahedron.png	23	45	24	15		9				C3v
62	Icosàedre metabidismminuït	Fitxer:Johnson solid 62 net.png	Fitxer:Metabidiminished icosahedron.png	10	20	12	10		2				C2v
63	Icosàedre tridisminuït	Fitxer:Johnson solid 63 net.png	Fitxer:Tridiminished icosahedron.png	9	15	8	5		3				C3v
64	Icosàedre tridisminuït augmentat	Fitxer:Johnson solid 64 net.png	Fitxer:Augmented tridiminished icosahedron.png	10	18	10	7		3				C3v

Sòlids arquimedians modificats

S'obtenen a partir de:

• Tetràedre truncat (augmentat)
• Cub truncat (augmentat)
• Dodecàedre truncat (augmentat)
• Petit romboicosidodecàedre (girat)
• Petit romboicosidodecàedre (disminuït)
• Petit romboicosidodecàedre (disminuït i girat)

Jn	Nom	Desenvolupament	Imatge	V	A	C	C3	C4	C5	C6	C8	C10	Simetria
65	Tetràedre truncat augmentat	Fitxer:Johnson solid 65 net.png	Fitxer:Augmented truncated tetrahedron.png	15	27	14	8	3		3			C3v
66	Cub truncat augmentat	Fitxer:Johnson solid 66 net.png	Fitxer:Augmented truncated cube.png	28	48	22	12	5			5		C4v
67	Cub truncat biaugmentat	Fitxer:Johnson solid 67 net.png	Fitxer:Biaugmented truncated cube.png	32	60	30	16	10			4		D4h
68	Dodecàedre truncat augmentat	Fitxer:Johnson solid 68 net.png	Fitxer:Augmented truncated dodecahedron.png	65	105	42	25	5	1			11	C5v
69	Dodecàedre truncat parabiaugmentat	Fitxer:Johnson solid 69 net.png	Fitxer:Parabiaugmented truncated dodecahedron.png	70	120	52	30	10	2			10	D5d
70	Dodecàedre truncat metabiaugmentat	Fitxer:Johnson solid 70 net.png	Fitxer:Metabiaugmented truncated dodecahedron.png	70	120	52	30	10	2			10	C2v
71	Dodecàedre truncat triaugmentat	Fitxer:Johnson solid 71 net.png	Fitxer:Triaugmented truncated dodecahedron.png	75	135	62	35	15	3			9	C3v
72	Romboicosidodecàedre girat	Fitxer:Johnson solid 72 net.png		60	120	62	20	30	12				C5v
73	Romboicosidodecàedre parabigirat			60	120	62	20	30	12				D5d
74	Romboicosidodecàedre metabigirat			60	120	62	20	30	12				C2v
75	Romboicosidodecàedre Trigirat			60	120	62	20	30	12				C3v
76	Romboicosidodecàedre disminuït			55	105	52	15	25	11			1	C5v
77	Romboicosidodecàedre disminuït paragirat			55	105	52	15	25	11			1	C5v
78	Romboicosidodecàedre disminuït metagirat			55	105	52	15	25	11			1	Cs
79	Romboicosidodecàedre disminuït bigyiat			55	105	52	15	25	11			1	Cs
80	Romboicosidodecàedre parabidisminuït			50	90	42	10	20	10			2	D5d
81	Romboicosidodecàedre metabidisminuït			50	90	42	10	20	10			2	C2v
82	Romboicosidodecàedre bidisminuït girat			50	90	42	10	20	10			2	Cs
83	Romboicosidodecàedre tridisminuït			45	75	32	5	15	9			3	C3v

Diversos

Jn	Nom	Desenvolupament	Imatge	V	A	C	C3	C4	C5	C6	C8	C10	Simetria
84	Bisfenoide xato (Dodecàedre siamès)			8	18	12	12						D2d
85	Atiprisma quadrat xato			16	40	26	24	2					D4d
86	Esfenocorona			10	22	14	12	2					C2v
87	Esfenocorona augmentada			11	26	17	16	1					Cs
88	Esfenomegacorona			12	28	18	16	2					C2v
89	Hebesfenomegacorona			14	33	21	18	3					C2v
90	Biesfenocinturò		Fitxer:Disphenocingulum.png	16	38	24	20	4					D2d
91	Birotonda billunar	Fitxer:Johnson solid 91 net.png	Fitxer:Bilunabirotunda.png	14	26	14	8	2	4				D2h
92	Hebesfenorotonda triangular	Fitxer:Johnson solid 92 net.png	Fitxer:Triangular hebesphenorotunda.png	18	36	20	13	3	3	1			C3v

Referències

• Norman W. Johnson, "Convex Solids with Regular Faces", Canadian Journal of Mathematics, 18, 1966, pages 169–200. Conté l'enumeració original dels 92 sòlids i la conjectura que no n'hi ha d'altres.
• Victor A. Zalgaller, "Convex Polyhedra with Regular Faces", 1969 : primera demostració d'aquesta conjectura.
• Eric W. Weisstein. Johnson Solid : cada sòlid amb el seu desenvolupament

Enllaços externs

• (anglès) Paper Models of Polyhedra
• (anglès) Sòlids de Johnson per George W. Hart.
• (anglès) Imatges dels 92 sòlids, categoritzats, en una pàgina.