Sèrie (matemàtiques)
En matemàtiques, una sèrie és la suma dels termes d'una successió, una suma amb un nombre infinit de termes o sumands. Normalment es representa una sèrie amb termes <math>a_n</math> com <math>\sum_{i=1}^N a_i</math> on N és l'índex final de la sèrie. Les sèries infinites són aquelles on i agafa el valor d'absolutament tots els nombres naturals, és a dir, <math>i = 1,2,3,\ldots</math>.
Les sèries convergeixen o divergeixen. En càlcul, una sèrie divergeix si <math>\lim_{n\to \infty} \, \, \sum_{i=1}^n a_i</math> no existeix o si tendeix a infinit; convergeix si <math>\lim_{n\to \infty} \, \, \sum_{i=1}^n a_i = L</math> per algun <math>L \in \mathbb{R}</math>.
Serveixi com a exemple la sèrie següent, que anomenarem S:
- <math>S=1-1+1-1+1-1+1...</math>
Aquesta sèrie es pot escriure de manera compacta amb la notació de sumatoris com segueix: <math>S=\sum_{n=0}^\infty\ (-1)^n</math>
Notem que les regles de la suma habitual (associativitat, commutativitat i distributivitat) poden patir alguns canvis a l'hora d'aplicar-les a sumes infinites. Continuant amb l'exemple anterior, podem veure com agrupant els termes de diverses maneres i obtenim resultats diferents. Una possibilitat seria aquesta:
- <math>S=(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+...=0+0+0+0+...=0</math>
i una altra podria ser aquesta:
- <math>S=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+...=1+0+0+0+...=1</math>
Amb aquest exemple tan senzill podem veure que s'ha de tenir molta cura quan es treballa amb sèries numèriques i que es possible que calgui definir de nou conceptes bàsics per evitar caure en contradiccions com la que s'acaba de mostrar.
Vegeu també
