Suma de matrius

La suma de matrius és una operació que es defineix per a dues matrius del mateix tipus, és a dir que totes dues tenen el mateix nombre de files i també el mateix nombre de columnes. La suma de dues matrius de tipus (m, n), <math>A=(a_{ij})</math> i <math>B=(b_{ij})</math>, que s'escriu A + B, és una nova matriu <math>(c_{ij})</math> de tipus (m, n) que s'obté sumant els elements corresponents de cada matriu, és a dir:

Per a tot i, j, <math>c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}~</math>

Per exemple:

<math>

\begin{pmatrix}
1 & 3 \\
1 & 0 \\
1 & 2
\end{pmatrix}

+

\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
7 & 5 \\
2 & 1
\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}
1+0 & 3+0 \\
1+7 & 0+5 \\
1+2 & 2+1
\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}
1 & 3 \\
8 & 5 \\
3 & 3
\end{pmatrix}

</math>

El conjunt de les matrius de tipus (m, n) amb l'operació de la suma formen un grup abelià. La comprovació és evident a causa del fet que els elements són membres d'un grup abelià i la suma de matrius es defineix construint la matriu suma a partir de la suma dels elements.

Aquesta forma de definir la suma de matrius prové de les aplicacions lineals; si A i B són matrius d'aplicacions lineals respecte a una base donada, llavors la matriu de l'aplicació suma expressada en la mateixa base, és la suma de matrius A+B. Per exemple:

<math>\begin{align}

\left( \begin{matrix}
1 & 2 \\
3 & 1 \\

\end{matrix} \right)\cdot \left\{ \begin{matrix}

e_{1} \\
e_{2} \\

\end{matrix} \right\}+\left( \begin{matrix}

2 & 0 \\
0 & 2 \\

\end{matrix} \right)\cdot \left\{ \begin{matrix}

e_{1} \\
e_{2} \\

\end{matrix} \right\}& =\left\{ \begin{matrix}

1\cdot e_{1}+2\cdot e_{2} \\
3\cdot e_{1}+1\cdot e_{2} \\

\end{matrix} \right\}+\left\{ \begin{matrix}

2\cdot e_{1}+0\cdot e_{2} \\
0\cdot e_{1}+2\cdot e_{2} \\

\end{matrix} \right\} \\

& =\left\{ \begin{matrix}
\left( 1+2 \right)\cdot e_{1}+\left( 2+0 \right)\cdot e_{2} \\
\left( 3+0 \right)\cdot e_{1}+\left( 1+2 \right)\cdot e_{2} \\

\end{matrix} \right\} \\

& =\left( \begin{matrix}
1+2 & 2+0 \\
3+0 & 1+2 \\

\end{matrix} \right)\cdot \left\{ \begin{matrix}

e_{1} \\
e_{2} \\

\end{matrix} \right\} \\

& =\left( \left( \begin{matrix}
1 & 2 \\
3 & 1 \\

\end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix}

2 & 0 \\
0 & 2 \\

\end{matrix} \right) \right)\cdot \left\{ \begin{matrix}

e_{1} \\
e_{2} \\

\end{matrix} \right\} \end{align}</math>