Tall de Dedekind
En matemàtiques, un tall de Dedekind d'un conjunt totalment ordenat <math>E</math> és una parella (A,B) de subconjunts de <math>E</math>, que formen una partició de E, i on tot element de <math>A</math> és més petit que tot element de <math>B</math>.
De certa manera, aquest tall conceptualitza alguna cosa que es trobaria «entre» <math>A</math> i <math>B</math>, però que no ha de ser per força un element de <math>E</math>.
Els talls de Dedekind van ser introduïts per Richard Dedekind com a mitjà de construcció del conjunt dels nombres reals (presentant de manera formal el que es troba «entre» els nombres racionals).
Definició
Un tall de Dedekind d'un conjunt totalment ordenat <math>E</math> es defineix per una parella (A,B), on <math>A \subset E</math> i <math>B \subset E</math>, tals que:
- <math>A \ne \empty, B \ne \empty</math>
- <math>A \cap B = \empty</math>#<math>A \cup B = E</math>
- <math>\forall x \in A, \forall y \in B, x<y</math>
Els punts 1, 2 i 3 diuen que <math>A</math> i <math>B</math> constitueixen una partició de <math>E</math>. Per tant, la definició d'un determina completament l'altre.
El punt 4 formula la partició dels elements de <math>E</math> en aquestes dues parts. Es pot demostrar que aquest punt equival a:
- <math>\forall x \in E, (a\in A \land x\le a \Rightarrow x\in A)</math> i
- <math>\forall y \in E, (b\in B \land y\ge b \Rightarrow y\in B)</math>.
Exemples
Construcció dels nombres reals
Si <math>E=\mathbb Q</math>, el conjunt dels nombres racionals, es pot considerar el tall següent:
- <math>A=\{a\in\mathbb Q | a^2<2\lor a\le 0 \}</math>
- <math>B = \{ b\in\mathbb Q | b^2\ge 2\land b>0 \}</math>
Aquest tall permet representar el nombre irracional <math>\sqrt{2}</math> que aquí es defineix alhora pel conjunt nombres racionals que són més petits i pel dels nombres racionals que són més grans.
La presa en consideració de tots els talls de Dedekind sobre <math>\mathbb Q</math> permet una construcció del conjunt dels nombres reals <math>\mathbb R</math> (veure l'article Construcció dels nombres reals).
Ordre sobre els talls de Dedekind
Siguin <math>(A,B)</math> i <math>(C,D)</math> dos talls de Dedekind de <math>E</math>. Es defineix un ordre sobre el conjunt dels talls de Dedekind de <math>E</math> posant:
- <math>(A,B)<(C,D) \Leftrightarrow A\subset C</math>.
Es pot demostrar que el conjunt dels talls de Dedekind de <math>E</math> proveït d'aquest ordre posseeix la propietat de la fita superior, fins i tot si <math>E</math> no la posseeix. Submergint <math>E</math> en aquest conjunt, se'l perllonga en un conjunt del que tota subclasse afitada posseeix un suprem.