Teorema d'existència i unicitat d'EDO

El Teorema d'existència i unicitat d'EDO, és a dir, d'equacions diferencials ordinàries, diu així:

Sigui <math>X</math> un espai de Banach, i sigui <math>f:X\to X</math> una aplicació tal que

<math>|f(x)-f(y)| < L|x-y| \qquad \forall x,y\in X</math>

per algun <math>L\ge0</math> (es diu que f és una funció Lipschitz de constant L). Aleshores per qualsevol <math>u_0\in X</math>existeix una funció única

<math>u:[0,+\infty)\to X</math>

diferenciable, tal que es compleix

<math>\begin{cases}

{\frac{du}{dt}} = f(u) & \qquad\textrm{en}\ [0,+\infty) \\

& \\

u(0) = u_0. & \end{cases}</math>

A més, es té dependència contínua de la solució respecte la condició inicial i es poden obtenir estimacions sobre la regularitat de la solució.

Demostració: Existència. L'equació que cal resoldre és equivalent a

<math>u(t) = u_0 + \int_0^tf(u(s))ds.</math>

Donat un <math>k>0</math> (que es fixarà més endavant), s'introdueix l'espai

<math>E=\{u\in C([0,+\infty);X)\ :\ \sup_{t\ge0}e^{-kt}|u(t)|<\infty\}</math>

Es comproven les propietats següents:

• <math>E</math> és un espai de Banach amb la norma

<math>|u|_E=\sup_{t\ge0}e^{-kt}|u(t)|</math>

• Per tot <math>u\in E</math> la funció

<math>(\Phi u)(t) = u_0 + \int_0^tf(u(s))ds</math>

pertany a <math>E</math>.

• <math>|\Phi u-\Phi v|_E \le \frac{L}{k}|u-v|_E \quad \forall u,v\in E</math>

Quan <math>k>L</math>, pel teorema del punt fix de Banach, l'aplicació <math>\Phi</math> és contractiva i admet un punt fix, que és una solució.

Unicitat. Siguin <math>u</math> i <math>v</math> dues solucions. Posant

<math>\varphi(t)=|u(t)-v(t)|</math>

s'obté, a partir de la representació integral de les solucions,

<math>\varphi(t)\le L\int_0^t\varphi(s)ds\qquad\forall t\ge0</math>

i això implica que <math>\varphi\equiv0.</math>

Regularitat.

...

Dependència contínua de les condicions inicials.

...