Teorema de Clairaut

En matemàtiques, el teorema de Clairaut (també conegut com a teorema de Schwartz) mostra la igualtat de les derivades creuades d'una funció f sempre que:

<math>f \colon A \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math>

tingui derivades parcials contínues per qualsevol punt del domini obert A, per exemple, prenguem el punt <math>(a_1, a_2,..., a_n)</math>, llavors, segons aquest teorema, per qualsevol <math>1<i,j<n</math> tenim que:

<math>\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\, \partial x_j}(a_1, \dots, a_n) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j\, \partial x_i}(a_1, \dots, a_n).</math>

Aquest teorema deu el seu nom al matemàtic i astrònom francès Alexis Clairaut.

Una conseqüència immediata d'això és que, si es compleixen les condicions del teorema de Clairaut, la matriu hessiana de la funció f serà simètrica.