Teorema de Wilson

El teorema de Wilson (atribuït a John Wilson (1741-1793) estableix que, el nombre enter <math>p</math> és primer si, i només si,

<math>(p - 1)! \equiv -1 \ (\hbox{mod}\ p)</math>

això és, si i només si, <math>(p - 1)! + 1</math> és divisible entre <math>p</math>.

El teorema de Wilson recull el fet que <math>p</math> és primer si, i només si, l'anell <math>\mathbb{Z}_{p}</math> és íntegre (i, per ser finit, un cos). Aleshores, com que tant <math>1</math> com <math>p - 1</math> són els únics elements que són inversos de sí mateixos, el producte

<math>(p - 1)! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (p - 2) \cdot (p - 1)</math>

conté <math>\frac{p - 3}{2}</math> parelles d'elements amb el seu invers. En conseqüència,

<math>(p - 1)! = 1 \cdot (2 \cdot 3 \cdots (p - 2)) \cdot (p - 1) = 1 \cdot (1 \cdot 1 \cdots 1) \cdot (p - 1) = p - 1 \equiv -1 \ (\hbox{mod}\ p)</math>

Si <math>p</math> no és primer i <math>p = q \cdot r</math> amb, posem, <math>q < r</math>, com que <math>q < r < p</math>, és clar que , a <math>\mathbb{Z}_{p}</math>, s'esdevé que <math>q \cdot r \equiv 0 \ (\hbox{mod}\ p)</math> i, per tant, <math>(p - 1)! \equiv 0 \ (\hbox{mod}\ p)</math>.

Si <math>p</math> no és primer, però és la potència <math>k</math> d'un nombre primer <math>q</math>, aleshores, excepte el cas <math>p = 4 = 2^2</math>, el nombre de vegades que apareix el factor <math>q</math> a <math>(p - 1)!</math> no és inferior a <math>k</math>. En conseqüència, també <math>(p - 1)! \equiv 0 \ (\hbox{mod}\ p)</math>.

<math>(4 - 1)! = 3! = 6 \equiv 2 \neq -1 \ (\hbox{mod}\ 4)</math>