Teorema de la tangent
En trigonometria, el teorema de la tangent és una fórmula que relaciona les longituds dels tres costats d'un triangle i les tangents dels seus angles.
A la Figura 1, a, b, i c són les longituds dels tres costats del triangle, i α, β, i γ són els angles oposats a aquestes tres cares respectivament. El teorema de la tangent estableix que
- <math>\frac{a-b}{a+b} = \frac{\tan[\frac{1}{2}(\alpha-\beta)]}{\tan[\frac{1}{2}(\alpha+\beta)]}.</math>
Tot i que el teorema de la tangent no és tan conegut com el teorema del sinus o el teorema del cosinus, és exactament igual d'útil, i es pot fer servir en qualsevol dels casos on es coneixen dos costats i un angle o quan es coneixen dos angles i un costat.
Demostració
Per a demostrar el teorema de la tangent es pot començar amb el teorema del sinus:
- <math>\frac{a}{\sin{\alpha}} = \frac{b}{\sin{\beta}}.</math>
Anomenant q al resultat d'aquest quocient, es té <math>\scriptstyle{a\,=\,q\sin\alpha}</math>, <math>\scriptstyle{b\,=\,q\sin\beta}</math>, per tant
- <math>\frac{a-b}{a+b} = \frac{q \sin \alpha -q\sin\beta}{q\sin\alpha+q\sin\beta} = \frac{ \sin \alpha -\sin\beta}{\sin\alpha+\sin\beta}. </math>
Fent servir la fórmula de Simpson
- <math> \sin(x) + \sin(y) = 2 \sin\left( \frac{x + y}{2} \right) \cos\left( \frac{x - y}{2} \right) \;</math>
amb <math>\scriptstyle{x\,=\,\alpha}</math> i <math>\scriptstyle{y\,=\,\pm\beta}</math> s'obté
- <math>\frac{a-b}{a+b} = \frac{
2 \sin\left( \frac{\alpha -\beta}{2} \right) \cos\left( \frac{\alpha+\beta}{2}\right)
}{
2 \sin\left( \frac{\alpha +\beta}{2} \right) \cos\left( \frac{\alpha-\beta}{2}\right)} = {{\tan{\alpha - \beta \over 2}} \over {\tan{\alpha + \beta \over 2}}}.</math>