Teorema del valor mitjà de Cauchy

En càlcul diferencial, el teorema del valor mitjà de Cauchy és una generalització del teorema del valor mitjà (de Lagrange). A partir d'aquest es pot demostrar la regla de l'Hôpital, molt útil per resoldre indeterminacions del tipus <math> \textstyle \frac{0}{0} </math> i <math>\textstyle \frac{\infty}{\infty} </math>.

Teorema

El teorema diu el següent:

Siguin <math>\,f</math> i <math>\,g</math> dues funcions continues a <math>\,[a,b]</math> i derivables a <math>\,(a,b)</math>. Si <math>\,f'</math> i <math>\,g'</math> no s'anul·len simultàniament, llavors existeix <math>c \in (a,b)</math> tal que: (center) Augustin Louis Cauchy

Com s'ha dit anteriorment, aquest teorema és una generalització del teorema del valor mitjà de Lagrange, ja que aquest ocorre quan <math>\,g(x)=x</math>.

Demostració

Tenim dues funcions <math>\,f(x)</math> i <math>\,g(x)</math> continues a <math>\,[a,b]</math> i derivables a <math>\,(a,b)</math>. A partir d'aquestes podem definir una nova funció com:

{{{1}}}

Aquesta funció compleix el teorema de Rolle, ja que:

{{{1}}}

Per tant, <math>\exist c \in (a,b): h'(c)=0</math>. Calculant la derivada de <math>\,h(x)</math>:

{{{1}}}

I introduint-hi el valor de <math>\,c</math>, veiem que

{{{1}}}

Que és equivalent al que volíem demostrar.

{{{1}}}

A més a més, si <math>g(b)\neq g(a)</math> i <math>\,g'(c)\neq 0</math>, l'equació anterior es pot escriure com:

{{{1}}}