Teoria de categories

La teoria de categories és una branca de la matemàtica que estudia de manera abstracta les estructures matemàtiques i llurs relacions. Les categories avui dia s'usen com a noció unificadora en la major part de les branques de la matemàtica i en algunes àreas de les ciències de la computació i física teòrica. Foren proposades per Samuel Eilenberg i Saunders Mac Lane en el període 1942-1945, en connexió amb la topologia algebraica.

Definició de categoria

<math>\mathcal{A}</math> es una categoria si té:

1) una classe d'objectes de <math>\mathcal{A}</math>, anomenat <math>{Ob(}\mathcal{A})</math>.

2) per tot <math>{A,B} \in {Ob(}\mathcal{A}{)}</math>, un conjunt de morfismes de <math>A_{}^{}</math> en <math>B_{}^{}</math>, anomenat <math>{Mor_{ \mathcal{A} }(A,B)}_{}^{}</math>. Els seus elements <math>{f}\in {Mor_{ \mathcal{A} }(A,B)}</math> s'escriuen com <math>{f:A}\rightarrow B</math>

3) per tot <math>{A,B,C,D} \in {Ob(}\mathcal{A}{)}</math>, i per tot <math>{f}\in {Mor_{ \mathcal{A} }(A,B)}</math>, <math>{g}\in {Mor_{ \mathcal{A} }(B,C)}</math> es compleixen les següents propietats:

a) existeix <math>{h}\in {Mor(A,C)}</math> tal que <math>h=fg:=f {\circ{}}_{\mathcal{A}}\; g</math>, és a dir, tenim l'aplicació

<math>\begin{matrix} {Mor(A,B) \times{} Mor(B,C)} & \longrightarrow{} & {Mor(A,C)} \\ {(f,g)} & \mapsto & {fg} \end{matrix}</math>

b) propietat associativa en la composició, és a dir <math>k(gf)=(kg)f_{}^{}</math>, per tot <math>k \in {Mor_{ \mathcal{A} }(C,D)}</math>.

c) existència del morfisme identitat <math>I_B^{ \mathcal{A} } \in Mor_{ \mathcal{A} }(B,B) </math> tal que <math>I_B^{ \mathcal{A} }f=f</math> i <math>gI_B^{ \mathcal{A} }=g</math>.