Aplicació lineal

En matemàtiques, una aplicació lineal és un morfisme entre dos espais vectorials que respecta l'operació suma de vectors i la multiplicació escalar definides en aquests espais vectorials, o, en altres paraules que preserven les combinacions lineals.

Definicions

Sigui <math>f:\mathbf E\rightarrow \mathbf F</math> una aplicació on <math>\mathbf E</math> i <math>\mathbf F</math> són dos <math>\mathbb K</math>-espais vectorials. Plantilla:Definició

Una aplicació que compleixi la primera condició es diu additiva, si, en canvi compleix la segona es diu homogènia.

Propietats

Si <math>f:\mathbf E \rightarrow \mathbf F</math> és una aplicació lineal, <math>\forall x,y \in \mathbf E</math>, i <math>\forall a,b \in \mathbb K</math> es compleix:

<math>f(ax+by)=af(x)+bf(y)\,</math>
<math>f\left(\sum_{i=1}^m a_ix_i\right)=\sum_{i=1}^m a_if(x_i)</math>
<math>f(\vec 0)=\vec 0</math>
<math>f(-x)=-f(x)\,</math>
Si <math>g:\mathbf F \rightarrow \mathbf G</math> també és una aplicació lineal, aleshores:<math>g\circ f: \mathbf E \rightarrow \mathbf G</math>, també és una aplicació lineal.

Nucli i imatge

Sigui <math>f:\mathbf E\rightarrow \mathbf F</math>

S'anomenarà nucli de <math>f</math> al subespai vectorial de <math>\mathbf E</math>

<math>Nuc f=\left\{x\in \mathbf E|f(x)=0\right\}</math>

S'anomenarà imatge de <math>f</math> al subespai vectorial de <math>\mathbf F</math>

<math>Im f=\left\{y \in \mathbf F|\exist x\in \mathbf E , y=f(x)\right\}</math>

Teorema del rang

<math>\dim(Nuc f) + \dim(Im f)=\dim (\mathbf E)</math>

Teorema d'isomorfisme

<math>Im f \cong \mathbf E/Nuc f</math>

Matriu associada a una aplicació lineal

Siguin <math> \mathbf E</math> i <math> \mathbf F</math> dos espais vectorials de dimensió finita, <math>\{u_1, \dots, u_n\}</math> i <math>\{v_1, \dots, v_m\}</math> les seves respectives bases i <math>f:\mathbf E\rightarrow \mathbf F</math> una aplicació lineal, <math>\ f</math> queda definida si es coneixen les coordenades de <math>f(u_1), \dots, f(u_n)</math> en la base de <math>\mathbf F</math>:

<math>f(u_i)=\sum_{j=1}^m \lambda_i^jv_j, i=1, \dots, n</math>

<math> \ A </math> S'anomena matriu associada a l'aplicació lineal <math> \ f </math> en les bases <math>\{u_1, \dots, u_n\}</math> i <math>\{v_1, \dots, v_m\}</math>

<math>A=\begin{pmatrix} \lambda_1^1 & \cdots & \lambda_n^1 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \lambda_1^m & \cdots & \lambda_n^m \end{pmatrix}</math>

Aquesta matriu ens permet calcular les coordenades de l' imatge d'un vector:

<math>w \in \mathbf E =\sum_{i=1}^n w_i u_i</math>

<math>\ f(w) \in F = f(\sum_{i=1}^n w_i u_i)=\sum_{i=1}^n w_i (\sum_{j=1}^m \lambda_i^j v_j)=\sum_{j=1}^m (\sum_{i=1}^n \lambda_i^j w_i) v_j

</math> Les coordenades de <math>\ f(w)</math> en la base <math>\{v_1, \dots, v_m\}</math> de <math>\mathbf F</math> són:

<math>\bar{w_j}=\sum_{i=1}^n \lambda_i^j w_i, i=1, \dots, m</math>

<math>\Rightarrow \bar{w}=A \cdot w</math>

Composició d'aplicacions lineals

Donades dues aplicacions lineals <math>f: \mathbf E \rightarrow \mathbf F</math> i <math>g: \mathbf F \rightarrow \mathbf G</math> (on <math>\{u_1, \dots, u_n\}</math>, <math>\{v_1, \dots, v_m\}</math> i <math>\{w_1, \dots, w_s\}</math> són les bases de <math>\mathbf E</math>, <math>\mathbf F</math> i <math>\mathbf G</math>) amb <math>\ A</math> i <math>\ B</math> com a matrius associades en aquestes bases. Aleshores la matriu <math>C = B \cdot A</math> és la matriu associada a l'aplicació <math>f \circ g</math>

Demostració

<math>\left. \begin{matrix} f(u_i)=\sum_{j=1}^m a_i^j v_j \\ g(v_j)=\sum_{k=1}^s b_j^k w_k \end{matrix} \right\} \Rightarrow g \circ f(u_i)=g(f(u_i))=g(\sum_{j=1}^m a_i^j v_j)=\sum_{j=1}^m a_i^j g(v_j)=\sum_{j=1}^m a_i^j(\sum_{k=1}^s b_j^k w_k)=\sum_{k=1}^s(\sum_{j=1}^m a_i^j b_j^k)w_k \Rightarrow</math>

Canvi de base

Sigui <math>f: \mathbf E \rightarrow \mathbf F</math> una aplicació lineal amb la matriu <math>\ A</math> respecte a les bases <math>\{u_1, \dots, u_n\}</math> i <math>\{v_1, \dots, v_m\}</math> de <math>\mathbf E</math> i <math>\mathbf F</math> i la matriu <math>\ B</math> respecte a les bases <math>\{u_1', \dots, u_n'\}</math> i <math>\{v_1', \dots, v_m'\}</math> es pot escriure <math>\text {f}\;</math> com la següent composició

on <math>\ P</math> és la matriu del canvi de base de <math>\{u_i'\}\;</math> a <math>\{u_i\}\;</math> i <math>\ Q</math> és la matriu del canvi de base de <math>\{v_j\}\;</math> a <math>\{v_j'\}\;</math>.

L'espai dual

L'espai dual és l'espai de les aplicacions lineals que van de <math>\mathbf E </math> a <math>\mathbb{R}</math>.

<math>\mathbf{E} \rightarrow \mathbb{R}</math>

Les aplicacions lineals a <math>\mathbb{R}</math> s'anomenen formes , i a l'espai <math>\mathcal{L}(\mathbf E,\mathbb R)=\mathbf{E^*}</math> se l'anomena espai dual de <math>\mathbf{E}</math>, on <math>\mathcal{L}(\mathbf E,\mathbb R)</math> és el conjunt de totes les aplicacions lineals de <math>\mathbf E</math> a <math>\mathbb R</math>.

<math>\mathbf{E^*}</math> és un espai vectorial de la mateixa dimenió que <math>\mathbf{E}</math> (si <math>\mathbf{E}</math> té dimensió finita):

<math>\dim \mathcal{L}(\mathbf E,\mathbb R)= \dim \mathbf E \cdot \underbrace{\dim \mathbb R}_\text{1} = \dim \mathbf E </math>

<math>\Rightarrow \dim \mathbf{E^*}=\dim \mathbf{E}</math>

Donada una base de <math>\mathbf E = \{u_1,...,u_n\}</math>, les aplicacions:

<math>u_i': </math>	<math>\mathbf E \rightarrow \mathbb R </math>
	<math>u_j \mapsto 0</math>	<math> {si}~j \ne i </math>
	<math>u_j \mapsto 1</math>	<math> {si}~j = i </math>

<math>u_i^'(u_j)= \delta_{ij}=\left\{\begin{matrix} 1&\mbox {si}&i=j\\ 0&\mbox {si}& i\ne j\end{matrix}\right.</math>

On <math>u_i'</math> és l'aplicació, <math>u_j</math> és l'element i <math>\delta_{ij}</math> és la funció delta de Kronecker.

Les aplicacions <math>\{u_i'\} (i=1,...,n)</math> formen una base de <math>\mathbf E^* </math> que s'anomena base dual de <math>\{u_1,...,u_n\}</math>.

Observació

Suposem que <math>\{u_1,...,u_n\}</math> i <math>\{v_1,...,v_n\}</math> són bases diferents de <math>\mathbf E </math> amb algun vector en comú (suposem que <math>u_1 = v_1</math>), aleshores, en les dues bases duals <math>\{u_1',...,u_n'\}</math> i <math>\{v_1',...,v_n'\}</math>, <math>u_1'</math> i <math>v_1'</math> no tenen perquè ser iguals.

Proposició

Sigui <math>\{u_1,...,u_n\}</math> una base de <math>\mathbf E </math> i <math>\{u_1',...,u_n'\}</math> la seva base dual, les coordenades d'una forma qualsevol <math> \omega \isin \mathbf E^* </math> en la base <math>\{u_1',...,u_n'\}</math> són <math>( \omega (u_1),..., \omega (u_n))</math>.

<math>\omega: </math>	<math>\mathbf E \rightarrow \mathbb R </math>
	<math>u_1 \mapsto \omega (u_1)</math>
	<math>u_j \mapsto \omega (u_2)</math>
	<math>\vdots</math>
	<math>u_n \mapsto \omega (u_n)</math>

<math> \omega = \alpha_1 u_1' +,,,+\alpha_n u_n' ~~~~~~~~~~ \alpha_i = \omega (u_i)~~~ i = 1,...,n</math>

<math> \Rightarrow \omega = \omega (u_1) \cdot u_1' +...+ \omega (u_n) \cdot u_n' </math>

<math>\omega = \sum_{i=1}^{n} \omega (u_i) \cdot u_i' </math>

Demostració

Per tot vector <math>u_k</math> de la base de <math>\mathbf E </math> tenim: <math>\bigg( \sum_{i=1}^{n} \omega (u_i) \cdot u_i' \bigg) (u_k) = \sum_{i=1}^{n} \omega(u_i)\cdot u_i' (u_k) = \omega (u_1) \cdot \underbrace{u_1' (u_k)}_\text{0} +...+ \omega (u_k) \cdot \underbrace{u_k' (u_k)}_\text{1}+...+ \omega (u_n) \cdot \underbrace{u_n' (u_k)}_\text{0} = \omega(u_k) </math>

<math> \Rightarrow \omega = \sum_{i=1}^{n} \omega (u_i) \cdot u_i'</math>

Aplicacions duals

Fixada una aplicació lineal <math> f: \mathbf E \rightarrow \mathbf F </math> i <math> \mathbf F^* = \mathcal{L}(\mathbf F,\mathbb R)</math>, al compondre un element <math>\omega \isin \mathbf F^*</math> amb <math>f</math>, obtenim un element <math> \omega \circ f \isin \mathbf E^* </math>:

Aplicació dual

Per tant, existeix una aplicació <math> f' </math> que designarem per aplicació dual de <math>f</math>:

<math>\begin{matrix} f': & \mathbf F^* \rightarrow \mathbf E^* \\ & \omega \mapsto \omega \circ f \end{matrix} </math>

i té les següents propietats:

Lineal:

<math> f' (\omega +v)=(\omega +v) \circ f = (\omega \circ f)+(v \circ f)=f' (\omega) + f'(v)</math>

<math>f' (\lambda \omega)=(\lambda \omega) \circ f = \lambda (\omega \circ f)= \lambda f' (\omega)</math>

<math>(g \circ f)' = f' \circ g'</math>:

<math>(g \circ f)' (\omega)= \omega \circ (g \circ f)=(\omega \circ g) \circ f=f' (\omega \circ g)=f'(g'(\omega))=f' \circ g'(\omega)</math>

Relació entre matrius

<math>f: \mathbf E \rightarrow \mathbf F </math> té per matriu associada <math>A=(a_{i}^{j})</math> en les bases <math>\{u_1,...,u_n\}</math> i <math>\{v_1,...,v_m\}</math> de <math>\mathbf E</math> i <math>\mathbf F</math> respctivament.
<math>f': \mathbf F^* \rightarrow \mathbf E^* </math> tindrà una matriu associada <math>B=(b_{i}^{j})</math> en les dues bases duals <math>\{v_1,...,v_m\}</math> i <math>\{u_1,...,u_n\}</math> de <math>\mathbf F^*</math> i <math>\mathbf E^*</math> respctivament.

Proposició

La matriu de l'aplicació dual <math>f'</math> en les bases duals és la matriu transposada de <math>A</math>.

Demostració

<math>b_{i}^{j} =(f'(v_i'))(u_j)=(v_i' \circ f)(u_j)=v_i' (f(u_j))=v_i' (\sum_{k=1}^{m} a_{j}^{k} v_k)= \sum_{k=1}^{m} a_j^k v_i' (v_k)=a_j^1 \underbrace{v_i' (v_1)}_\text{0}+...+a_j^i \underbrace{v_i' (v_i)}_\text{1}+...+a_j^m \underbrace{v_i' (v_m)}_\text{0}=a_j^i</math> <math>\Rightarrow b_i^j =a_j^i \Rightarrow B=A^t</math>

Vegeu també

Bibliografia

Castellet, Manuel; Llerena, Irene. Universitat Autònoma de Barcelona. Àlgebra lineal i geometria, 2005. ISBN 84-7488-943-X.