Forma lineal

Sigui V un objecte matemàtic qualsevol amb estructura lineal sobre un altre objecte K amb estructura aritmètica. Típicament V és un K-mòdul sobre un anell K, o un espai vectorial sobre un cos K. Una forma lineal és una aplicació

<math>\omega: V \longrightarrow K \,</math>

de l'objecte V a l'objecte K que compleix el requeriment de linealitat:

<math>\omega(\lambda x + \mu y) = \lambda \omega(x) + \mu \omega(y),\quad x, y \in V,\quad \lambda, \mu \in K</math>

Si V és un espai vectorial, les formes lineals de V se solen anomenar també covectors, en contraposició al nom de "vectors" que hom fa servir pels elements de V.

Notació

Si <math>\omega</math> és una forma lineal i x un element de V, de vegades s'empra la notació <math>\langle x, \omega \rangle </math> per expressar el valor de la forma <math>\omega</math> en l'element x, és a dir, <math>\langle x, \omega \rangle = \omega(x)</math>.

Objectes duals

El conjunt <math>V^{\ast}\,</math> de les formes lineals de l'objecte V a l'objecte K és l'estructura lineal dual de V. Si V és un K-mòdul o un K-espai vectorial, llavors <math>V^{\ast}\,</math> és, respectivament, el K-mòdul dual o l'espai vectorial dual.

Càlcul

Com que, en tots els casos, una forma lineal no és més que un homomorfisme de V a K, si V és un mòdul lliure finitament generat o un espai vectorial de dimensió finita, hom pot condensar tota la informació sobre una certa forma lineal ω en la matriu d'aquesta aplicació lineal. Si g₁, g₂, ..., g_n són els vectors d'una base de V i prenem { 1K } com a base de K, la matriu de la forma lineal ω és

<math> \omega \quad \longleftrightarrow

\quad \begin{pmatrix} \omega(g_1) & \omega(g_2) & \ldots & \omega(g_n) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \langle g_1, \omega \rangle & \langle g_2, \omega \rangle & \ldots & \langle g_n, \omega \rangle \end{pmatrix}</math> d'una fila i n columnes. Per aquest motiu, les formes lineals a espais vectorials també se solen anomenar vectors fila en contraposició als elements de l'espai que són els vectors columna.

El càlcul del valor de la forma ω en l'element de V donat per les coordenades v = λ₁g₁ + λ₂g₂ + ... + λ_ng_n es fa amb el producte habitual de matrius:

<math>\omega(v) = \langle v, \omega \rangle\ =

\begin{pmatrix} \omega(g_1) & \omega(g_2) & \ldots & \omega(g_n) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \vdots \\ \lambda_n \end{pmatrix} = \sum_{i=1}^n \langle g_i, \omega \rangle \lambda_i</math> és a dir, es correspon amb un polinomi homogeni de grau 1 en n variables.

Vegeu també