Variància
En teoria de probabilitat i estadística, la variància indica la dispersió d'una variable aleatòria <math>X</math> de la seva mitjana <math>E[X]</math>. Es defineix com l'esperança de la transformació <math>\left ( X - E[X] \right )^2 </math>, això és
V(X)=E \left [ \left ( X - E[X] \right )^2 \right ]
</math>Està relacionada amb la desviació, que se sol definir amb la lletra grega σ i que és l'arrel quadrada de la variància:
Propietats de la variància
Algunes propietats de
- <math>V(X) \geq 0</math>, propietat que permet que la definició de desviació típica sigui consistent.
- <math>V(aX+b) = a^2 V(X)</math> éssent a i b constants qualsevols.
- <math>V(X)=E[X^2]-E[X]^2</math>
- Si X i Y són variables aleatòries independents, llavors <math>V(X+Y)=V(X)+V(Y)</math>
- Desigualtat de Chebyshev <math>P \left ( \left |X-E[X] \right | \leq k \sigma \right ) \geq 1 - \frac {1}{k^2}</math>, per a qualsevol constant K més gran que 0.
Variància mostral
Dins de l'estadística descriptiva, la variància mostral s'utilitza com mesura de dispersió, i la seva definició és:
- <math>s ^ 2(x) = \frac{ \sum_{i=1}^n \left( x_i - \overline{x} \right) ^ 2 }{n} </math>
Mètode abreujat:
- <math>s ^ 2(x) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x}) ^ 2 </math>
També s'expressa com la diferència entre el moment d'ordre 2 i el quadrat del valor esperat:
- <math>V(X)= E[ X^2] - E[ X ]^2 \;</math>
Mentre que la desviació estàndard es pot interpretar com el terme mitjà de la distància de cada punt respecte de la mitjana, la variància està amidada en "unitats al quadrat".