Conjugat
En matemàtiques, el conjugat d'un nombre complex <math>z</math> és el nombre complex format de la mateixa part real que <math>z</math> i de la part imaginària oposada.
Definició
El conjugat d'un nombre complex <math>z = a + bi\,</math>, on a i b són reals, és <math>\bar z = a - bi</math>.
En el pla complex, el punt d'afix <math>\bar z</math> és el simètric del punt d'afix <math>z\,</math> respecte de l'eix de les abscisses.
El mòdul del conjugat resta inalterat.
Hom pot definir una aplicació, anomenada conjugació, mitjançant
- <math>\begin{array}{r|ccc} c:& \mathbb{C} & \longrightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \longmapsto & \overline{z} \end{array}</math>
La conjugació és una operació lineal contínua.
Propietats
Sia <math>(z,w)\in \mathbb{C} ^2</math>.
- <math>\overline{z+w} = \bar z + \bar w</math>
- <math>\overline{zw} = \bar z \times \bar w</math>
- <math>\overline{\left(\frac{z}{w}\right)} = \frac{\bar z}{\bar w}</math> si <math>w\,</math> és no nul
- si <math>\operatorname{Im}\left(z\right) = 0</math> aleshores <math>\bar z = z</math>
- <math>\left|\bar z\right| = \left|z\right|</math>
- <math>z \overline{z} = \left|z\right|^2</math>
- <math>z^{-1} = {\overline{z} \over {\left|z\right|^2}}</math> per a <math>z</math> no nul.